الاول
نفرض ان الجذورهي
a,b,c


بالفك والاختصار ينج ان

x^3 -(a+b+c) x^2 +(ab+bc+ca)x-abc=0



بالمقارنة مع المعادلة المعطاة
x^3+k/2 x^2 +l/2 x+4=0
حيث قسمت الحدود على 2


abc=-4
a+b+c=-k/2
ولكن الناتج عدد نسبي

لان k عدد نسبي

اذن لابد ان المجموع لايوجد به جذر 3
اذن الجذر الاخر يحتوى على سالب جذر 3

ولكن حاصل الضرب ايضا عدد نسبي اذن احد الجذور

مرافق للاخر ليعطى عددا نسبيا



ولكن abc=-4

حيث احدها =1 + 3√
اذن الجذور
1 - 3 √ و 1 + 3 √ و 2

 

 

الخامس
7 - 3 - 1
2 - 4 - 5
6 - 8 - 9

 

 

وبوضع
u =2/3 tan x

 

 

cos40+cos80)/(cos40cos80) + 1/cos160 )
باستخدام قاعدة المجموع لجيوب التمام



= 2cos 60 cos 20)/(cos40cos80) + 1/cos160 )

بتوحيد المقامات


= ( cos(60) 2 cos 20 cos 160 + cos40cos80)/ (cos40cos80 cos160
ولكن


cos(60) 2=1
اذن


( cos 20 cos 160 + cos40cos80)/ (cos40cos80 cos160)
ولكن من قاعدة الضرب


( cos 20 cos 160=1/2(cos 180 +cos 140


( cos 40 cos 80=1/2(cos 120 +cos 40


= اذن البسط =1\2(cos180 + cos140 + cos120 + cos40)

=(-1\2 )(-1 -1.5)

=-3\4


المقام

cos40cos80 cos160

بالضرب بسطا ومقاما في 8جا 20
مع تحويل جتا160 الى - جتا 20


= sine 20(-8) cos 20 cos 40 cos 80 /8 sin 20

= (-1) sin160/8sin 20
=-1\8

ولكن البسط =-3\4

الناتج =6

 

 

مسالة المثلث
معلوم ان ب ج اصغر من ا ب


العمل نمد ب ج الى س بحيث ب س = ا ب
ونرسم س د


اذن المثلث ا س ب متساوى الساقين

اذن ق(ب ا س ) = ق(ا س ب ) =70

ولكن ج ا ب قياسها 40 اذن ق(س ا ج )=30


المثلث ا د س متساوي الاضلاع
لماذا

المثلثان( ا د ب ) و ( س د ب ) متطابقان

بزاوية 20 لكل منهما والضلع د ب مشترك

اب = ب س عملا

اذن س د = د ا

ولكن المثلث المتساوى الساقين (س د ا )احدى زواياه
وهى (س ا د) قياسها= 60

اذن المثلث س د ا متساوى الاضلاع

نطبق المثلثان
س ا ج مع ا ج د
فيهما
ا س = ا د برهانا
ا ج مشترك
س ا ج =ق(ج ا د)=30

اذن ينتج ان
ق(س ج ا )= ق(ا ج د) =80

لان المثلث س ا ج معلوم به زاويتان 70 و 30


اذن ق (د ج ب) =100 -80 =20

اذن ق(ج د ب)=180 -(20+20)=140

وهو المطلوب

 

 

جميع الحلول سليمة : 5 × 4 = 20 نقطة

شكرا