بسم الله الرحمن الرحيم

معظم الطلاب يعتقد بأن النهايات شيء يصعب فهمه

والسبب في ذلك هو طريقة الشرح التي أخذها الطالب لهذا الدرس

ولكن الحقيقة انها من أبسط الأمور ( طبعا ً اذا لم نخض في التفاصيل )

ولنبدأ على بركة الله :

لو سألت السؤال التالي :

أوجد نهاية المقدار ( س + 5 ) عندما س تسعى إلى 3

الجواب : 3 + 5 = 8

وهذه هي القصة وما فيها أي أننا نعوض عن س بــ 3 (المقدار الذي تسعى إليه)

سأعطي الآن بعض التمارين المحلولة :

س1) أوجد نها(3س +4) عندما س تسعى إلى 0

الجواب := (3×0 ) + 4 = 4

س2) أوجد نها[س\(س+3) ] عندما س تسعى إلى 2

الجواب 2\(2+3) = 2\5

س3) أوجد نها [(س-2)\(س+3)] عندما س تسعى إلى 2

الجواب : (2-2)\(2+3) = 0\5 = 0

هذه هي المرحلة الأولى من درس النهايات

وأظن أنها سهلة جدا ً جدا ً ومفهومة

دعونا الآن ننتقل للمرحلة الثانية من الشرح

 

 

المرحلة الثانية :

أحيانا ً وبعد التعويض عن قيمة س بما يساويها تنتج معنا نتائج غريبة مثل :

1\0 (واحد ÷ صفر)

0\0 ( أي صفر تقسيم صفر)

∞ - ∞ (أي لانهاية - لانهاية)

∞ \ ∞ (أي لانهاية ÷ لانهاية)

0× ∞ ( 0 × لانهاية)

0 \ ∞ ( 0 ÷ لانهاية)

∞ × ∞ ( لانهاية × لانهاية)

0\عددما

وهناك نتائج أخرى كثيرة مثل هذه الأمثلة والتي تجعل الطالب يعتقد بأن النهايات صعبة

وحتى يكون الأمر سهلا ً جدا ً سأعطيك عدة أمثلة واقعية تعينك على الفهم

سنتخيل بأن العدد صفر هو شيء صغير جدا ً جدا ً مثل الفيروس أو الجرثومة

سنتخيل أن اللانهاية هي شيء كبير جدا ً جدا ً مثل الكرة الأرضية أو الكواكب أو النجوم والمجرات

سنتخيل العدد 1 هي تفاحة مثلا ً (أي أشياء محسوسة بالنسبة لنا )

الآن سأجيب عن الأسئلة السابقة بالاعتماد على الفيروس والتفاحة والارض

 

 

1\0

تخيل لو أعطينا تفاحة للفيروس أو الجرثومة ، فهو سيجدها كبيرة جدا ً جدا ً بالنسبة له

والكبير جدا ً جدا ً هو اللانهاية

أي أن 1\0 = ∞

الآن : ∞\0 وهنا تخيل أننا أعطينا الكرة الأرضية للفيروس

فعندما أعطيناه تفاحة رآها كبيرة جدا جدا فكيف اذا اعطيناه الكرة الارضية

سيراها كبيرة جدا جدا جدا جدا أي أيضا ً الجواب لانهاية

إذا : ∞ \ 0 = ∞

 

 

الآن : 1\ ∞

تخيل لو أعطينا تفاحة للكرة الأرضية فهي ( أي الأرض) ستراها صغيرة جدا جدا

والصغير جدا جدا هو الصفر

أي 1 \ ∞ = 0

وأيضا أي عدد \ لانهاية = 0

الآن :

∞ \ 1

تخيل لو أعطينا الأرض لشخص ما فهو سيراها كبيرة جدا جدا أي لانهائية

إذا : ∞ \ 1 = ∞

وأيضا لانهاية ÷ أي عدد = لانهاية

 

 

الآن :

0 \ 0

الجواب عدم تعيين أي أننا لا نستطيع ايجاد قيمة محددة

فربما الجواب يكون =1 وربما 2 وربما 0 أو -3 أو أو ........

والسبب في ذلك هو ما يلي :

نحن نعلم أن 6\3 = 2 لأن 2×3 =6

ولكن 0\0 يمكن أن =1 لأن 1×0 = 0

0\0 = 2 لان 2×0 =0

وممكن أي عدد

لذلك يسمى عدم تعيين

وأيضا ً ∞ \ ∞ = عدم تعيين

أرجو مراجعة الموضوع التالي للتعمق أكثر :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=6479

 

 

لنعد الآن إلى النهايات بعد أن عرفنا هذه المعلومات

س4) أوجد نها ( س² -5س+1) عندما س تسعى إلى 3

الجواب = 3 ² - (5×3) +1 = 9 - 15 +1 = -5

س5) أوجد نها ( 1\س) عندما س تسعى إلى 0

الجواب = 1\0 = ∞ وهو الجواب المطلوب

س6) أوجد نها [( س-3) \ (س+3) ] عندما س تسعى إلى -3

الجواب = (-3-3) \ ( -3+3) = -6\0 = ∞

طبعا هنا الجواب إما + أو - ∞ وذلك حسب ما تسعى س إلى الصفر من اليمين أو اليسار

ولن أدخل بتفاصيلها الآن

 

 

س8) أوجد نها [( س² - 1) \ ( س+3) ] عندما س تسعى إلى ∞

الجواب = عند التعويض نجد ( ∞ ² - 1 ) \ ( ∞ + 3) = ∞\∞ نقول هنا عدم تعيين

ويجب تعيينه

ولإيجاد قيمة عدم التعيين طرق متعددة فهنا مثلا سنقسم البسط والمقام على س

= [( س ² \ س ) - ( 1\س) ] \ [ ( س\س ) + ( 3\س) ]

= [ س - ( 1\س) ] \ [ 1+( 3\س)] وعندما س تسعى إلى اللانهاية يكون :

= ( لانهاية - 0) \( 1+0) = ∞ \ 1 = ∞

 

 

هناك طريقة ثانية لحل السؤال السابق تعتمد على قاعدة لوبيتال

وهذه القاعدة تقول :

عندما يكون الجواب 0\0 أو ∞\∞ نقوم باشتقاق البسط واشتقاق المقام

ثم نوجد النهاية للمقدار الجديد

والمثال السابق نتج ∞ \ ∞ عدم تعيين

لذلك نشتق البسط والمقام فيصبح :

نها(2س\1 ) عندما س تسعى إلى ∞

= ( 2× ∞) \ 1 = ∞

 

 

تمارين محلولة :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=36

وهنا تمرين باللغة اللاتينية

فقط اجعل x = س

lim هي نها وبعدها يكون واضح

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=8375

 

 

هنا يوجد ملخص ربما تستفيد منه

المشكلة أن الخط غير واضح

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=8545