تمرين ( 30 )

متتابعة هندسية
ح3 = 4
ح5 = 1
أوجد مجموعها الى مالانهاية ؟

ح3 = أ ر^2 = 4
ح5 = أ ر^4 = 1
ومنها :
أ = 16
ر = 1/2

ج = أ/(1 - ر) = 16 ÷ (1 - 1/2) = 32

 

 

تمرين ( 31 )

متتابعة حسابية تناقصية ، فيها :
ح10 = 6
ح4 ، ح10 ، ح13 فى تتابع هندسى

أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد عدد الحدود اللآزم أخذها ابتداء من الحد الأول حتى يتلاشى مجموعها

أ + 9 د = 6 ــــــــ> أ = 6 - 9 د
( ح10 )^2 = ح4 × ح13
36 = ( أ + 3 د ) ( أ + 12 د )
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة د
36 = ( 6 - 9 د + 3 د )( 6 - 9 د + 12 د ) = ( 6 - 3 د )( 6 + 3 د )
ومنها : د = - 1 ــــ> أ = 15

ج = 0 = ن/2 × [ 2 × 15 - (ن - 1) ] ــــ> ن = 31 حدا

 

 

تمرين ( 32 )

متتابعة حسابية
ح2 = 13
مجموع العشرة حدود الأولى = 235
أوجد المتتابعة ؟

أ + د = 13 ـــــــ> أ = 13 - د
235 = 10/2 × [ 2 أ + 9 د ]
ومنها :
د = 3 ، أ = 10
المتتابعة : 10 ، 13 ، 16 ، 19 ، ...

 

 

تمرين ( 33 )

متتابعة هندسية
ح2 = 40
مجموع مالانهاية من حدودها = 160
أوجد المتتابعة
ثم أوجد العدد الذى يضاف الى كل من ح2 ، ح3 ليكون :
ح1 ، ح2 ، ح3 فى تتابع حسابى

أ ر = 40 ـــــــــــ> أ = 40/ر
160 = أ/(1 - ر) = 40/ر(1 - ر) ــــــ> ر = 1/2 ، أ = 80
المتتابعة : 80 ، 40 ، 20 ، ...

نفرض أن العدد = ك
الأعداد فى تتابع حسابى : ح1 ، (ح2 + ك) ، (ح3 + ك)
ـــــــــــــــــــــ> 80 ، (40 + ك) ، (20 + ك)
2 × (40 + ك) = 80 + (20 + ك) ـــــ> ك = 10
وتكون الأعداد فى تتابع حسابى هى : 80 ، 50 ، 30

 

 

تمرين ( 34 )

متتابعة حسابية 53 ، 47 ، 41 ، ...
أوجد أول حد سالب ؟
وأوجد عدد الحدود التى تؤخذ ابتداء من الحد الأول لتعطى أكبر مجموع ممكن ، وأوجد هذا المجموع

أ = 53 ، د = - 6
نفرض أن أول حد سالب هو ح(ن) = أ + (ن - 1) د
53 + (ن - 1) × - 6 = 53 - 6 ن + 6 = 59 - 6 ن
فيكون : 59/6 - ن < 0 ــــ> ن > 59/6 ـــ> ن = 10
ح10 = 53 - 9 × 6 = - 1

ح9 = 53 - 8 × 6 = 5
أكبر مجموع هو مجموع جميع الحدود الموجبة ح1 ، ح2 ، .....، ح9
وعددها 9 حدا
ج9 = 9/2 × [ 2 × 53 - 8 × 6 ] = 261

 

 

تمرين ( 35 )

متتابعة حسابية
عدد حدودها = 21
مجموع الحدود الثلاثة الوسطى = 129
مجموع الحدود الثلاثة الأخيرة = 237
أوجد المتتابعة ؟

الحدود الثلاثة الوسطى : ح10 ، ح11 ، ح12
الحدود الثلاثة الأخيرة : ح19 ، ح20 ، ح21

3/2 × [ (أ + 9 د) + (أ + 11 د) ] = 129 ــــ> أ + 10 د = 43
3/2 × [ (أ + 18 د) + (أ + 20 د) ] = 237 ــــ> أ + 19 د = 79

أ = 3 ، د = 4
المتتابعة : 3 ، 7 ، 11 ، ...

 

 

تمرين ( 36 )

الوسط الهندسى للعددين أ ، ب = 4
الوسط الحسابى للعددين 1/(أ + 1) ، 1/(ب - 2) = 1/4
أوجد قيمة كل من أ ، ب

أ × ب = 4^2 = 16 ـــــ> ب = 16/أ
1/(أ + 1) + 1/(ب - 2) = 2 × 1/4 = 1/2
بالتعويض عن قيمة ب بدلالة أ
أ^2 - 4 أ + 4 = 0 ـــــ> أ = 2 ، ومنها : ب = 8

وتكون :
2 ، 4 ، 8 فى تتابع هندسى
1/(2 + 1) = 1/3
1/(8 - 2) = 1/6
1/3 ، 1/4 ، 1/6 فى تتابع حسابى

 

 

تمرين ( 37 )

ح(ن) متتابعة حسابية
ح1 + ح2 = 9
ح5 = 22
أوجد المتتابعة ؟
ومجموع 10 حدود الأولى منها

2 أ + د = 9
أ + 4 د = 22
ومنهما : ـــــــ> أ = 2 ، د = 5
المتتابعة : 2 ، 7 ، 12 ، ...
ج10 = 10/2 × [ 4 + 9 × 5 ] = 245

 

 

تمرين ( 38 )

متتابعة هندسية لانهائية
كل حد فيها = ضعف مجموع الحدود التالية الى مالانهاية
ومجموع مكعبات حدودها = 27/26
أوجد المتتابعة ؟

نفرض أن المتتابعة : أ ، أ ر ، أ ر^2 ، أ ر^3 ، .... الى مالانهاية

أ = 2 × أ ر /(1 - ر) ــــ> ر = 1/3

أ^3 + أ^3 ر^3 + أ^3 ر^6 + أ^3 ر^9 + .... الى مالانهاية = 27/26
متتابعة هندسية لانهائية ، حدها الأول = أ^3 ، الأساس = ر^3
27/26 = أ^3 / ( 1 - ر^3 ) = أ^3 / ( 1 - {1/3}^3 ) = 27 أ^3 / 26
ومنها : أ = 1
مع اهمال الجذرين التكعيبين المترافقين للواحد الصحيح

وتكون المتتابعة : 1 ، 1/3 ، 1/9 ، 1/27 ، ...

 

 

تمرين ( 39 )

متتابعة هندسية
ح3 = 9
ح6 = 243
أوجد المتتابعة ؟
وأوجد مجموع الستة حدود الأولى منها

أ ر^2 = 9
أ ر^5 = 243
بالقسمة : ــــــــــــ> ر^3 = 243/9 = 27 = 3^3
ر = 3 ، ومنها : أ = 1
المتتابعة : 1 ، 3 ، 9 ، 27 ، ...

ج6 = أ(ر^6 - 1)/(ر - 1) = 364