تمرين رقم ( 10 )

اثبت أن :

[(ن + 1)(ن + 2)(ن + 3) .... (2 ن)]/[1*2*3* ... *(2 ن - 1)] = 2^ن

 

 

تمرين رقم ( 11 )

حل في المجموعة ح المعادلة:

[ (س+1)/(س-1)]^3 -3 [ (س+1)/(س-1)]^2 +[ (س+1)/(س-1)]+1 = 0



نضع [(س + 1)/(س - 1)] = ص

ص^3 - 3 ص^2 + ص + 1 = 0

(ص - 1)(ص^2 - 2 ص - 1) = 0

ص = 1
(س + 1)/(س - 1) = 1 ... ... ، غير مقبول

(ص^2 - 2 ص + 1) = 0
ص = 1 + جذر 2 ... ، أو ص = 1 - جذر 2

(س + 1)/(س - 1) = 1 + جذر 2
س + 1 = (1 + جذر 2)* س - 1 - جذر 2
س = جذر 2 + 1

(س + 1)/(س - 1) = 1 - جذر 2
س + 1 = (1 - جذر 2)* س - 1 + جذر 2
س = جذر 2 - 1

 

 

تمرين رقم ( 12 )

 

 

تمرين (13)

أثبت أن: [(ن + 1) ( ن + 2 ) *.......................*2ن ] / [ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )] = 2^ن


[(ن + 1) ( ن + 2 ) *.......................*2ن ] = 2ن! / ن!

[ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )] = (2ن - 1)! / 2^(ن - 1) * (ن - 1)!

المقدار = [2ن! / ن!] ÷ [(2ن - 1)! / 2^(ن - 1) * (ن - 1)!]

= [ 2ن! * (ن - 1)! * 2^(ن - 1) ] ÷ [ن! * (2ن - 1)!]

= [2ن*(2ن - 1)! * (ن - 1)! * 2^(ن - 1)] ÷ [ن*(ن - 1)! *(2ن - 1)!]

= 2^ن

 

 

تمرين (14)

اذا كانت س=أ + ب ، ص = أω + ب ω2 ، ع= أ ω2+ بω
حيث 1 ، ω ، ω2 هي الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
فاثبت أن : س ص ع = أ3 + ب3

 

 

تمرين (15)

حل المعادلة :

( لو ص + 1 ) لو ( ص/10 ) = 3


(لو ص + 1) (لو ص - 1) = 3

(لو ص)^2 - 1 = 3

(لو ص)^2 = 4

لو ص = + 2 ـــــــــــــــــــــــــ ــــ> ص = 100

لو ص = - 2 ـــــــــــــــــــــــــ ــــــ> ص = 1/100

 

 

تمرين (16)

مجموع ثلاث أعداد موجبة يساوي 11/18

والمعكوسات الضربية لهذة الأعداد الثلاثة تكون متتابعة حسابية

فإذا كان مجموع هذة المعكوسات = 18

أوجد الأعداد الثلاثة ؟




نفرض أن الأعداد هى : س ، ص ، ع

س + ص + ع = 11 / 18 .................................................. (1)

1/س + 1/ص + 1/ع = 18 ................................................ (2)

1/س + 1/ع = 2/ص .................................................. ...... (3)

من (2) ، (3) ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــ> ص = 1 / 6

بالتعويض بقيمة ص فى المعادلة (1) ، (3)

س + ع = 4 / 9 .................................................. ............. (4)

1/س + 1/ع = 12 .................................................. .......... (5)

من المعادلتين (4) ، (5) ينتج أن :

س = 1/3
ع = 1/9

للتحقق :

س + ص + ع = 1/3 + 1/6 + 1/9 = 11 / 18

1/س + 1/ص + 1/ع = 3 + 6 + 9 = 18

1/س + 1/ع = 3 + 9 = 12 = 2*6 = 2*(1/ص)

 

 

تمرين (17)

أوجد قيمة س في المعادلة

1 + 7 + 13 + ................ + س = 280


المعادلة هى متتابعة حسابية ، فيها :

الحد الأول = 1
الأساس = 6
مجموع الحدود = 280
الحد الأخير = س

نفرض أن :
عدد الحدود = ن

س = 1 + (ن - 1) × 6 = 6 ن - 5

280 = (ن/2)*[1 + 6 ن - 5] = (ن/2)*(6 ن - 4)
ومنها : ن = 10

س = 6 ن - 5 = 55

للتحقق :

أ = 1 ، د = 6 ، ن = 10

ج = (ن/2)*[2 أ + (ن - 1)*د] = (10/2)*[2 + (10 - 1)*6] = 5*56 = 280

 

 

تمرين (18)

إذا كان مجموع السبعة عشر حدا الأولي من متتابعة حسابية =289

أوجد قيمة ح1 + ح8 + ح 18

نفرض أن :

الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ
الأساس = د
مجموع الحدود = ج

ج = (ن/2)*[2 أ + (ن - 1)*د)]

289 = (17/2)*[2*أ + 16*د] = 17*أ + 17×16*د

17 = أ + 8*د ................................................ (1)

ح1 + ح8 + ح18 = أ + (أ + 7*د) + (أ + 17*د) = 3*أ + 24*د = 3*(أ + 8*د)

بالتعويض من المعادلة (1)

ح1 + ح8 + ح18 = 3 × 17 = 51

 

 

تمرين (19)

متتابعة هندسية فيها مجموع الحدين الأول والثالث = 20

ومجموع الحدين الثاني والرابع = 40

أوجد المتتابعة ثم أوجد قيمة أول حد قيمته أكبر من 500 في هذة المتتابعة



نفرض أن المتتابعة الهندسية هى : أ ، أ*ر ، أ*ر^2 ، أ*ر^3 ، .... ، أ*ر^(ن - 1)

أ + أ*ر^2 = 20 ـــــــــــــــــــــــــ ــ> أ*(1 + ر^2) = 20

أ*ر + أ*ر^3 = 40 ـــــــــــــــــــــ > أ*ر * (1 + ر^2) = 40

إذن :

ر = 2
أ = 4

المتتابعة هى : 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، ...

نفرض أن الحد الذى قيمته أكبر من 500 = أ*ر^(ن - 1) = 2^2 × 2^(ن - 1) = 2^(ن + 1)

2^(ن + 1) > 500
حيث ن عدد صحيح موجب

500 = 2^2 × 125

العدد التالى للقيمة 125 وعوامله العدد 2 هو 128 = 2^7

2^(ن + 1) = 2^2 × 2^7 = 2^9 = 512

(ن + 1) = 9
ن = 8

أول حد فى المتتابعة قيمته أكبر من 500 هو الحد الثامن = أ*ر^7 = 4 × 2^7 = 2^9 = 512