بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

سأحاول فى هذا الموضوع تجميع ما وجدته عن القطوع المخروطية من برامج وفلاشات وعروض باور بوينت يمكن أن يستفيد منها المتعلم والطالب فى دراسته ....
علما بأن معظم مصادر هذا الموضوع ستكون من الإنترنت ... من مواقع ومنتديات مختلفة ...

وأسأل الله أن يعيننى حتى يخرج هذا الموضوع بصورة مرضية ....

والله من وراء القصد .....

 

 

المخروط:

هو جسم مُركّب من دائرة، ونقطة تقع خارج مستوي الدائرة، ومن كل القطع التي تصل هذه النقطة مع نقاط الدائرة.

وصف أقل رسمي: المخروط مبني من دائرة، ومن نقطة تقع خارج مستوي الدائرة ومن غلاف جانبي "مشدود" يحيط بهما.

نسمي الدائرة قاعدة المخروط، ونسمي النقطة رأس المخروط.


الغلاف الجانبي المخروط : يتكوّن من كل القطع التي تصل بين الرأس ومحيط الدائرة.

أمثلة :

إرتفاع المخروط :

هو قطعة أحد طرفيها في رأس المخروط، والرأس الآخر على مستوي القاعدة، وهي عمودية على مستوي القاعدة.

المخروط القائم :

هو مخروط فيه القطعة التي تصل بين الرأس ومركز الدائرة عموديّة على مستوي القاعدة. (أي أن الرأس موجود بالضبط "فوق" مركز الدائرة).

الراسم في المخروط القائم - هو قطعة تصل بين رأس المخروط ونقطة واقعة على محيط القاعدة.


ملاحظة : هناك فرق بين ارتفاع المخروط القائم وراسمه.

بمعنى : المخروط سطح في الفضاء الثلاثي الأبعاد له ..

- رقعتان تفصلهما نقطة تسمى رأس المخروط..

- محور ...

- دليل (هنا في الشكل دائرة تقع في مستوي عمودي على المحور)...

- مستقيمات مولدة (هنا في الشكل )هي المستقيمات التي تصل رأس المخطوط بمجموعة نقاط الدليل.

يسمى هذا المخروط مخروطا قائما لأن المسقط العمودي لرأس المخروط على المستوي الذي يقع فيه الدليل (الدائرة) هو مركز الدائرة. وهذا هو أبسط المخروطات. والمخروط، في آخر الأمر، هو مجموعة النقاط من الفضاء التي يشكلها اتحاد المولدات.


يتبع ..... ،

 

 

القطوع المخروطية

إذا تقاطع المخروط الدائرى القائم ذو القاعدتين مع سطح مستوٍ .... نتج ما يسمى بالقطوع المخروطية....

ويختلف نوع المخروط الناتج تبعا لزاوية تقاطع المستوى مع المخروط ...

وهناك أربعة أنواع مألوفة هى:

(1) الدائرة : المستوى عمودياً على المحور كان المقطع دائرة.

(2) القطع الناقص :المستوى ليس عمودياً على المحور وغير موازي لراسمه

(3) قطع مكافئ : المستوى ليس عمودياً على المحور وموازي لراسم فيه كان المقطع قطع مكافئ.

(4) القطع الزائد :المستوى موازياً المحور .

والمقصود بالمقطع هو شكل المنحنى الناتج من تقاطع المستوى مع المخروط.

يتبع ... ،

 

 

س : لماذا سمى القطع المكافئ ، والقطع الناقص ، والقطع الزائد بأسمائها ؟

القطع المخروطي هو الشكل الهندسي الذي ترسمه نقطة تتحرك في المستوى بشرط أن تكون نسبة بُعْدِها عن نقطة ثابتة (البؤرة) إلى بُعْدِها عن مستقيم ثابت (الدليل) هي نسبة ثابتة (ف) أو (هـ) وتسمى بالإختلاف المركزي .
أو
القطع المخروطي هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى بشرط أن تكون نسبة بُعْدِها عن نقطة ثابتة إلى بعدها عن مستقيم ثابت هي نسبة ثابتة.

ويتحدد نوع القطع كما يلي :

أولاً : إذا كان الاختلاف المركزي ف = 1 .... يكون القطع مكافئاً
تعني قطع مخروط بزاوية تكافىء زاوية ميل مولداته .

ثانياً : إذا كان الاختلاف المركزي ف < 1 .... يكون القطع ناقصاً .
(سمى ناقصا لأن نسبة الاختلاف المركزى تنقص عن 1)

ثالثاً : إذا كان الاختلاف المركزي ف > 1 .... يكون القطع زائداً ...
(سمى زائدا لأن نسبة الاختلاف المركزى تزيدعن 1)

رابعاً : إذا كان الاختلاف المركزي ف = صفر يكون القطع دائرة...

وسميت القطوع المخروطية بهذا الاسم لأنها ناتجة من قطع المخروط الدائرى القائم بمستوى.

يتبع ... ،

 

 

فلاش يوضح القطوع فى الفراغ




فلاش لتوضيح القطع المكافئ



فلاش آخر لتوضيح القطع المكافئ (اضغط على الزر العلوى لمشاهدة صورة أخرى لمعادلة القطع المكافئ)



القطع الناقص



القطع الزائد



فلاش آخر للقطع الزائد





يتبع ... ،

 

 

س : ما أهمية دراسة وجود مثل هذه القطوع ؟
أو
س : أين نجد هذه القطوع فى الطبيعة ؟
أو
س : ما هى الخواص المتعلقة بهذه الأشكال والتي أدت دورا أساسيا في مختلف فروع الرياضيات، بما فيها الرياضيات التطبيقية ؟

**************************

للإجابة عن هذا السؤال يمكن أن نبحث في الكون والطبيعة وفي كل ما يحيط بنا عن الأماكن التي تدخل فيها المخروطات وقطوعها. دعنا نشير إلى بعضها موضحين ذلك عبر الصور التي لا يخطر بعضها على البال :


1. لا شك أن كلا منا حدث له أن قطع شكلا مخروطيا باستخدام آلة حادة ... إن حدث ذلك فإننا نحصل على أحد الأشكال التالية (وهي قطوع مخروطية) :

الدائرة والقطع الناقص



القطع المكافئ والقطع الزائد



**************************

2. أي مبنى أو بيت لا نرى فيه اليوم هذا الهوائي المخروطي أو ذاك؟



**************************

3. انظر إلى دائرة من زاوية مائلة. ماذا ستشاهد؟ ستشاهد قطعا ناقصا مثل هذا الموضح في الشكل :



**************************

4. ضع نصيبا من الماء في كأس، ثم أمِلْه قليلا أو كثيرا وانظر إلى الحافة التي يرسمها الماء على جدار الكأس. ستشاهد قطعا ناقصا كما في الرسم :

يتبع ... ،

 

 

5. عندما تقطع اسطوانة بمستوى مائل، هل تحصل على قطع مخروطي؟ نعم، وها هو المنظر المحصل عليه عندما تطبق ذلك على عمارة (الصورة لمبنى في العاصمة الدنماركية، كوبناهجن) :

**********************

6. عندما تنظر إلى السماء، تصور أن الكواكب والنجوم تتحرك على مدارات ناقصية كما يبين الرسم التالي :

**********************

7. إذا ما فكرنا في المتناهيات الصغر ... في الذرة والإلكترونات فالملاحظ لدى المختصين أن الإلكترونات تدور حول النواة على مدارات ناقصية ... وكأن النواة تقع في أحد البؤرتين للقطع الناقص، كما في الرسم.

يتبع ... ،

 

 

8- تتمتع القطوع الناقصية بخاصية تستخدم في انعكاس الضوء والصوت : إذا انطلق شعاع ضوئي أو من بؤرة قطع ناقص فهو ينعكس على المنحنى بزاوية تجعله يصل إلى البؤرة الثانية. لعل القارئ لا يعلم أن هذه الخاصية تستخدم في الطب لدى عملية تفتيت حصاة داخل الكلية بتصويب الأشعة نحوها.

*******************

9. نلاحظ أيضا هذه الخاصية في أمور أخرى : فإذا كنت مع جمع من الناس في رواق مقوس بشكل جزءٍ من قطع ناقص فستلاحظ أن أصواتا ستصلك من أناس بعيدين عنك ولعلك لا تراهم. كيف ذلك؟
إن كان أحدهم في أحد بؤرتي القطع الناقص وكنت أنت في البؤرة الثانية فسيصلك صوته بكل وضوح حتى إن لم تكن بجانبه (انظر الرسم).

*******************

10. تصور أن طاولة اللاعب أدناه ناقصية الشكل وأن الكرة قد وضعت في إحدى البؤرتين ... وأن اللاعب دقّها بعصاه نحو الحافة. كيف سيكون مسار الكرة؟ هل ستعود إلى موقعها الأصلي؟

*******************

11. إذا قفزت (كما في لعبة الغولف) كرة بشكل مائل فسوف ترسم الكرة جزءا من قطع مكافئ. وإن وصلت الكرة إلى الأرض بقوة تجعلها تنطلق من جديد فسترسم جزءا من قطع مكافئ آخر (انظر الرسم):

*******************

12. وما قولك في دوي المدافع وقذائفها ؟ هل يمكن تصويبها بدقة؟ ما دمت تعرف أن مسارها ممثل بقطع مكافئ وتعرف موقعك وموقع العدو وقوة دفع مدفعك فيكفي اختيار الزاوية التي تنطلق منها القذيفة لبلوغ الهدف (انظر الرسم التوضيحي) :

*******************

13. حتى تدرك جيدا شكل القطع المكافئ، انظر إلى الماء المتدفق من إحدى الفوارات ... أو إلى سمكة في البحر كما يبين الرسمان التاليان :

يتبع ... ،

 

 

14. انظر إلى شكل ضوء سيارتك، فهو مجسم مكافئ، وضع في بؤرته مصباحا. عندما ينطلق شعاع ضوئي من المصباح (البؤرة) ينعكس على سطح المجسم ويتجه أفقيا (عندما تكون السيارة في وضعية أفقية) ... وكذلك تفعل جميع الأشعة المنطلقة من المصباح والمنعكسة على المجسم. وبذلك ينار الطريق أمام السيارة على بعد أمتار وأمتار، دون تبديد للطاقة، (انظر الرسم) :

******************

15. يمكن أن نسعى إلى تحقيق العكس، أي أننا نجمّع الضوء في نقطة بدل توزيعه انطلاقا من نقطة ... أو أن نلتقط أمواجا تأتي من الخارج لتتجمع في نقطة. هذه النقطة نضعها في بؤرة القطع المكافئ، فعندما تأتي الأشعة وتنعكس على سطح المجسم (الذي يمكن أن يكون مرآة مثلا) تتجه تلك الأمواج أو الأشعة نحو البؤرة. فلو وضعت مادة قابلة للاحتراق في البؤرة ووجهت المجسم المكافئ نحو الشمس لاحترقت تلك المادة (يبدو أن مصطلح "بؤرة" أو "محرق" آت من هذه الخاصية من عهد الإغريق). وهكذا يمكن إنتاج طاقة بهذه الطريقة، انظر الرسمين المواليين:

******************

16. ماذا يحدث لو تقابل قطعان مكافئان بشكل معين ووضع مصباح في بؤرة أحدهما، انظر مسار الأشعة الضوئية في الرسم (النقطتان السوداوان تمثلان بؤرتين القطعين المكافئين المتقابلين) :

******************

17. عندما تبري قلما،كما في الرسم، فكأنك قاطعت مخروطا مع مستوى مواز للمحور. ولذا فالمنحني الذي يظهر على القلم (الحافة الأفقية في الجزء الأصفر من القلم في الرسم) يمثل قطعا زائدا :

******************

18. وبالمثل، لاحظ الظل على الجدار الذي يصنعه مصباح محاط بمقطع من مخروط، كما في الشكل أدناه، وستشاهد قطعا زائدا :

******************

19. عندما تحلق طائرة في السماء وتشق طريقها على خط مستقيم فوق منطقة سكانية وينبعث منها أزيزها، فهذا الصوت ينتشر على شكل مخروط رأسه هو رأس الطائرة (تقريبا)، كما في الرسم. كيف يصل الصوت إلى السكان؟ يتقاطع المخروط الصوتي (بالأزرق في الرسم) مع مستوى الأرض وفق قطع زائد (إذا كان محور الطائرة يوازي سطح الأرض). وهكذا فكل الأفراد الموجودين على القطع الزائد يسمعون في آن واحد صوت الطائرة. وبما أن الطائرة تواصل سيرها فإن القطع الزائد يتكرر رسمه على الأرض في كل لحظة في أماكن متصلة ببعضها البعض. وعليه فصوت الطائرة يسمع في كامل المنطقة، لكن شدته تختلف باختلاف المكان والزمان :

******************

20. ماذا نصنع عندما نجعل قطعا زائدا يدور حول محوره؟ إننا نصنع مجسما زائدا كما في المبنى الموضح في الصورة الموالية :

21. إليك صورا أخرى ليست غريبة عنك ... تذكرك بالمخروطات وقطوعها:

دقيق في ملعقة

******************

تذكر هذا المنظر عند تناول الفول السوداني

******************

إن كنت من سكان الصحراء فلا تمس هذه الكثبان بسوء حتى تحافظ على الأشكال المخروطية

******************

اسطوانة في التراب

يتبع ... ،

 

 

ومن التطبيقات أيضا .... نجد خواص القطوع المكافئة في الهوائيات المقعرة (المجسم المحصل عليه بدوران قطع مكافئ حول محوره) التي نلتقط من خلالها القنوات التلفزيونية الفضائية. كما نجد خواص القطوع المخروطية في مرايا المقاريب (تلسكوب) وفي مصابيح السيارات.

************************

نلاحظ مما سبق مدى أهمية القطوع المخروطية .... وارتباطها بالحياة ... ولا عجب أن دراسة هذه القطوع كانت محل اهتمام الرياضيين منذ حوالي 25 قرنا.

وبذلك نجد في الرياضيات اليوم كمّا هائلا من النظريات والخواص المتعلقة بهذه الأشكال الهندسية.

واستفاد الرياضيون والفلكيون وعلماء الفضاء والميكانيكيون من هذه المادة الهندسية الدسمة فحلوا بفضلها العديد من المسائل وتعرفوا على مسارات الكواكب وصنعوا أدوات مختلفة تسد حاجياتهم (والتى أوضحنا صورا متفرقة منها فى المشاركات السابقة ) ولنتذكر بعضها سويا:
الهوائيات المقعرة والمرايا المحرقة والهوائيات ومصابيح السيارات، الخ.

والقطوع المخروطية تندرج حسب الجبريين ضمن المنحنيات ذات الدرجة الثانية. وكان ديكارت في القرن الـ 17م قد طبق عليها ادوات الهندسة التحليلية.

أما الرياضيون الإغريق، أمثال مينشيم وأبولنيوس وبابوس Pappus فكانوا أول من انشغلوا بهذه الأشكال وأثبتوا أن القطوع المخروطية الثلاثة تنتسب إلى نفس العائلة رغم أشكالها المختلفة.

وكان للحضارة العربية الإسلامية دورا هامة في مواصلة هذه الدراسات بعد اطلاعهم على الأعمال الإغريقية.

ومن العلماء الذين اهتموا بالمخروطات نجد ثابت بن قرة و أبا جعفر الخازن و أبا سهل الكوهي، و ابن الهيثم وغيرهم كثيرون.


وسنستعرض الآن تطبيق على القطوع المخروطية في انتشار الصوت :