بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

هندسة الفراكتال ... أو... الهندسة الكسرية
Fractal Geometry

ماذا يعنى هذا المفهوم ؟ ولم أصبح محل اهتمام التربويين فى هذه الفترة ؟ وهل تمثل بعدا غائبا فى الرياضيات المدرسية الحالية ؟
وكيف يمكن دمجها في الرياضيات المدرسية بالتعليم لأساسي كإثراء في الرياضيات ، أو حتى كموضوع منفصل بالتكامل محاور الهندسة ؟.

سأحاول التطرق لما وجدته من بحث ... وأتمنى المشاركة ممن لديه فكرة ... وفقكم الله ...،

هندسة الكسور....هندسة الفراكتال
أطلق عليها هندسة كسرية Fractals

توصل العلماء في السبعينيات من القرن العشرين إلى مكون رياضي جدير في الهندسة ... وأطلق عليه هندسة الفراكتال كما أسماه بذلك مانيلبورت الذي حدد لها مجموعة من المسلمات التي يمكن أن تختص بها الأشكال الفراكتالية دون غيرها في الأنساق الهندسية،

وهندسة الفراكتال تبحث في وصف خصائص الأشكال في الطبيعة، ولذلك فهي تهتم بالتحقق من الخصائص الرياضية لبعض الأشكال والظواهر الطبيعية ومحاولة تفسيرها وفقاً لخصائصها الفراكتالية، ولذلك فإن هندسة الفراكتال تربط وبشكل كبير المتعلم لها بالعالم المحيط به، وتغيراً لأشكال في الطبيعة من الجانب الرياضي مما يثري التفكير الرياضي لدى المتعلمين، ويجعل من الرياضيات بيئة للفهم والتفكير اللذين يساعدا المتعلمين على تطوير وظيفة الرياضيات.

********************

مع نهاية القرن العشرين تطور تعليم الرياضيات تطوراً مذهلاً، فانتقل بالمتعلمين من التركيز على حفظ الحقائق وتطبيق الخوارزميات الرياضية إلى اكتشاف قوة الرياضيات ودورها في تنمية تفكيرهم من خلال التطبيقات الحياتية والمجتمعية للرياضيات، ومع التطور التقني والتكنولوجي في السنوات الأخيرة تطور استخدام تكنولوجيا التعليم في تعليم الرياضيات، وبرز ذلك في الأدوار المتعددة لاستخدامات الكمبيوتر من برامج تعليمية متخصصة وكذلك شبكة المعلومات Internet، بالإضافة إلى الأدوار المؤثرة للآلات الحاسبة البيانية ( Graph Calculators) في تنمية مهارات المتعلمين النوعية سواء في جال حل المعادلات والدوال أو معالجة البيانات إحصائياً.

********************

هذا التطور في مجال تعليم الرياضيات أدى إلى توجيه اهتماماً أكبر في بنية الرياضيات المعرفية وعلاقة الرياضيات بمكونات العلوم الطبيعية الأخرى، فالأشياء في الطبيعة لها خصائص الطبيعة ومنها الخصائص الرياضية المكونة لهذه الأشياء ومن هناك كان البحث عن تغير رياضي لتكون الأشياء في الفلك وعلوم البيئة والظواهر الجوية. وعندما فكر مانديلبورت Mandelbrot في أن السحب ليست كرات وأن الجبال ليست مخاريط، والسواحل ليست دوائر فقد بدأ في اكتشاف نوع جديد من التركيب الهندسي البديع أطلق عليه هندسة الفراكتال Fractal Geometry وتعنى بالبحث في المكونات الجزئية للأشكال الرياضية أو الأشياء في الطبيعة وفقاً لمجموعة من الخصائص الرياضية.


ويذكر نايلور (Naylor, 1999) أن الفراكتلات تقدم لنا أشكالاً ذات قيمة جمالية كبيرة وهي ترتبط بشكل مباشر في كيفية تنظيم العالم من حولنا، ومن وجهة نظر معظم معلمي الرياضيات فإنها تفجر طاقات الإبداع والخيال عند المتعلمين، ويعتبر تدريس هندسة الفراكتال ذو أهمية كبيرة في إثراء وتنمية تفكير المتعلمين الذي يعتبر من أهم أهداف تعليم الرياضيات؛

فتنمية الحس المكاني والحدس بالشكل من المحاور التي يرى عبيد (1998) أنها تشكل التوجهات العامة لتعليم الرياضيات في المستقبل، ويذكر أن عالم الهندسة المتواجدة في عالم الحقيقية يتطلب تربيضاً من خلال هندسة حدسية وهندسة تحويلية وهندسة استدلالية وهندسة تحليلية، وهندسة اتجاهية، وإضافة خصائص بتولوجية والتعرف والتعامل مع أنماط هندسية تتكون من إيقاعات تكرارية لوحدات هندسية صغيرة أطلق عليها هندسة كسرية Fractals .

ابتكر مانديلبروت Mandelbrot كلمة فراكتال Fractal لتصف وتشرح العديد من الظواهر الطبيعية، وتأتي كلمة فراكتال من الفعل اللاتيني Franger والذي يعني يفتت أو يكسر، وهذا الفعل يرتبط بوصف الخصائص الطبيعية للأشياء، فهي تبدو "مفتتة" غير مستوية في أشكال مركبة ومعقدة مثل التغيرات المتعرجة جداً لساحل جزيرة.

كما أن كلمة فراكتال تأتي من الكلمة اللاتينية Fiactious وتعني تكسير أو تفتيتي، وهي تصنف مجموعات غي عادية من الخطوط والنقط والتعرجات،
وللكمة شقين
الأول وهو الفراكتلات الطبيعية وهي الأشكال والأشياء المرتبطة بالطبيعة والمرتبطة بالعلوم،
والثاني في الرياضيات والذي يهتم بدراسة مجموعة الفراكتلات التي غالباً يكون لها جذور في نظرية الفوضى Chaoes theory .

ويشير البعض إلى أن مانديلبورت هو مؤسس وواضع خصائص هندسة الفراكتال بالضبط كما وأسس إقليدس Euclid للهندسة الإقليدية وبتجديد مانديلبروت لأهم خصائص هندسة الفراكتال فإن مصطلحاً مثل الهندسة الماندلية (Mandelbort geometry) يمكن قبوله للإشارة إلى هندسة الفراكتال على اعتبار أن الهندية الماندلية تتعامل وفقاً لخصائص فريدة قدمها ماندلبروت في كتابه (The Fractal Geometry of Nature) الذي نشر عام 1983.

********************

هناك عدة تعريفات تصف هندسة الفراكتال:

* يعرفها كلاقام (Clapham) على أنها مجموعة من النقط لا تتكامل أبعادها المتجزئة أو أي مجموعة ذات تركيب مماثل؛ فتعتبر الفراكتلات مجموعة ذات تراكيب غير منتهاة التعقيد، وعادة ما تحتوي على بعض القياسات ذات التشابه، فأي جزء تحتوي داخلها تعبر صورة مصغرة للمجموعة كلها.

********************

* يعرف الفراكتال في القاموس الإلكتروني على أنه نمط هندسي يتكرر على مقاييس تتزايد في الصغر وتؤدي إلى أشكال وأسطح غير منتظمة لا يمكن تمثيلها من خلال خصائص الهندسة الإقليدية www. Dictionary. Com.

********************

* تصف راندي Randi هندسة الفراكتال بأنها هندسة الطبيعة نظراً لارتباطها بالأشياء الطبيعية، وللظواهر الطبيعية.

********************

ويمكن أن تعرف هندسة الفراكتال على أنها تلك التراكيب الهندسية في الأشياء الطبيعية وهذه التراكيب لها خصائص تميزها عن غيرها من الأبعاد الهندسية، وهي بذلك ترتبط ببحث الكسوريات الصغيرة بل المتناهية في الصغر المكونة لتلك الأشياء في الطبيعية.
وقد أصبحت الفراكتلات جزءاً من الرياضيات، فبالإَضافة إلى تقديمها إمكانية تكوين الأشكال والصور بشكل جذاب وجميل فإنها أيضاً تقدم لنا إطاراً نظرياً لتطوير موضوعات أخرى، مثل تمثيل الظواهر الطبيعية كنمو الخلايا البكتيرية أو نمزجة الأشياء مثل النباتات وغيرها.

ونخلص مما سبق إلى وصف هندسة الفراكتال على أنها:

* أشكال هندسية غير منتظمة تتكون من أجزاء غير منتهية متداخلة بمختلف القياسات.

* تلك الصور التي تنتج من تكرار المعادلات اللاخطية.

* أشكال هندسية نتجت أو نمت نتيجة تطبيق بعض القواعد الرياضية عليها، وهذه القواعد تأخذ الشكل الأساسي وتنقله من خطوة إلى خطوة إما بالإضافة إليه أو بتطويره، وهذه العمليات يمكن أن تكرر بعدد غير منته من المرات.

* أشكال هندسية تنتج من تقسيم الشكل الأساسي إلى أجزاء صغيرة، وكل جزء هو صورة مصغرة من الشكل الأساسي

 

 

خصائص هندسة الفراكتال:

تتميز هندسة الفراكتال بخصائص أساسية تعطى لها ذلك التركيب الفريدين فروع الهندسة الأخرى ومنها:

(1) خاصية التشابه الذاتي Self- Similarity

(2) خاصية البعد الفراكتلي Fracty Dimension

فعندما تقدم الفراكتلات على أنها أشكال هندسية تنتج من تطبيق نمط هندسي معين على أحد الأشكال الهندسية عدة مرات، فإن خصائص هذه الأشكال تتمثل في التالي:

(1) خاصية التشابه الذاتي:

التشابه بين الأجزاء المكونة للشكل، أي أن الجزء من الكل يشبه تماماً ذلك الكل، فإذا أضفنا جزءاً متكاملاً من الأجزاء المتكونة للشكل الفراكتلي، ثم قمنا بتكبيره عدة مرات فإننا في النهاية سنحصل على الشكل الأصلي. وهناك العديد من المواقع على شبكة الإنترنت التي تقدم لهذه الخصائص، وإن كان موقعاً مثل (www.techlar.com/Fractals/) يقوم بطريقة حركية عن طريقها اختيارنا لأي جزء من الشكل وتكبيره عدة مرات حتى نصل إلى الاقتناع بوجود خاصية التشابه الذاتي للشكل.

(2) خاصية البعد الفراكتلي:

إذا علمنا أنه في الهندسة التقليدية فإن النقطة ترسم في البعد الصفري، أي ليس لها بعد، وأن الخطوط المستقيمة لها بعد واحد، بينما ترسم المربعات والأشكال الهندسية المستوية الأخرى في بعدين، وكذلك نعرف أن المكعب والاسطوانة والكرة ترسم في ثلاثة أبعاد، فما هو البعد الفراكتلي ؟.

إن الأبعاد السابقة في الهندسة الإقليدية لا تعتبر مناسبة مع تركيب الشكل الفراكتلي، فمنحنى كوشKoch مثلاً له أبعاد تقع تقريبا بين 1.26 أي بين 2.1 وهذا يعكس حقيقة أن مجموعة النقط كثيفة يمكن عدها لمنحنى، وكذلك رفيعة جداً لتحسبها كمساحة، ولذلك فإن البعد الفراكتلي أوجد العديد من التطبيقات العملية في تحليل العمليات الفوضوية Chaitic ولذلك فإن البعد الفراكتلي بشكل عام ليس عدد ولا قيمة عددية، ومنحنى الفراكتال يعتبر أحد الأبعاد للأشياء في المستوى الذي له بعدين ويقع بين 2.1 بالمثل كما السطح الفراكتلي Fractly Surfaec له بعدين ويقع بين 3.2 فالقيمة تعتمد على كيفية إنشاء الفراكتال .

أهداف تدريس هندسة الفراكتال:

تدريس الهندسة يهدف إلى إكساب مهارات التفكير الهندسي لدى المتعلمين وكذلك مهارات استخدام أدوات الهندسة للتعبير من خلالها على الأشكال الهندسية وفهم مكوناتها، وتدريس هندسة الفراكتال في التعليم الأساسي يهدف إلى:

(1) إثراء تفكير التلاميذ الهندسي بالمعارف والمهارات المرتبطة بهندسة الفراكتال.

(2) تساعد التلاميذ في وصف الأشكال الطبيعية وصفاً مضبوطاً، لأن الأشكال والأجسام في الطبيعة معظمها غير مضبوطة من غير الشكل مثل المربعات والمثلثات وغيرها، بل لها أشكال هندسية معقدة، فتساعد خصائص هندسة الفراكتال في تحديد وصف مضبوط لها.

(3) تساعد التلاميذ في ربط الرياضيات مع الأشياء في البيئة المحيطة بهم، وذلك من خلال تطبيقات هندسة الفراكتال على مجالات عديدة في فهم أشكال الخلية سواء النباتية أو الحيوانية في الأحياء ومكونات وتراكيب الصخور في علوم الأرض وكذلك في علم الهندسة.

(4) تساعد التلاميذ في فهم الرياضيات ذاتها، وذلك من خلال فهم العمليات التكرارية حيث الحاجة إلى الحسابات الرياضية فيها.

(5) رسم الأشياء الطبيعية من الواقع على شاشات الكمبيوتر.

(6) تعلم مزج الفنون مع الرياضيات، فتتحول المعادلات من مجرد أرقام أو رموز إلى أشكال ورسومات.

(7) إكساب التلاميذ مهارات الاكتشاف في الرياضيات من خلال مهارات ربط الأشكال في الطبيعة بالخصائص الرياضية لهندسة الفراكتال.

(8) تعرف مكونات منظور هندسي جديد لم يألفه التلاميذ في محتوى الرياضيات.

(9) هندسة الفراكتال تبرز الجوانب الجمالية في الرياضيات وهو هدف وجداني يمكن تحقيقه من خلال تعلم هندسة الفراكتال.

 

 

هندسة التكرارات ... كمكون من مكونات الهندسة الكسرية
أو التكرارات الهندسية: Geometric Iterations:

تعتبر فكرة التكرارات الهندسية للأشكال وفقاً لقاعدة محددة من الأسس التي أظهرت الجوانب الجمالية للفراكتالات الهندسية، ويمكن تنفيذ العديد من التكرارات الهندسية لأنواع وأشكال هندسية متعددة لتوضح أنماط وتراكيب هندسية ذات أبعاد رياضية وجمالية. ويمكننا من خلال عرض نماذج التكرارات الهندسية التالية أن نؤسس أفكاراً متنوعة لإنشاء أشكالاً هندسية فراكتالية مختلفة:

1) تكرارات منتصفات أضلاع المثلث:

الخطوات:

1- ارسم مثلث متساوي الأضلاع، وحدد منتصف كل ضلع في نقطة.

2- صل نقاط منتصفات الأضلاع لتكون مثلثاً آخر، ثم نصف أضلاعه في ثلاث نقاط كما في الخطوة السابقة.

3- صل النقاط الجديدة لتكون مثلثاً جديداً، ثم نصف أضلاعه في ثلاث نقاط.

4- نظرياً يمكننا تكرار ذلك إلى أقصى حد يسمح بتنصيف الأضلاع، ولكن عملياً وبعد عدة خطوات سوف يصبح المثلث صغيراً جداً لدرجة لا تسمح بتنصيف أضلاعه.

الآن يمكنك التفكير في تكرار آخر ولكن تحت قاعدة أخرى مثل تقسيم أضلاع المثلث إلى جزئين بنسبة 2:1 وإنشاء تكرار جديد.. هل يمكن إنشاء تكرار هندسي آخر ربما لمثلث غير متساوي الأضلاع أو متساوي السائقين... .

2) تكرارات المربعات:

الخطوات:

1- ابدأ برسم مربع أب ج د، ثم ضع نقطة.تقسم ضلع المربع بنسبة 2:1 من أ إلى ب...
وبنفس الطريقة قسم باقي أضلاع المربع.

2- صل النقاط لتكون مربعاً آخر، واستمر في تكرار المربع حتى التكرار الثامن

خمن ماذا سيكون عليه الشكل إذا كان مخمساً منتظماً ؟

3) تكرارات القطع المستقيمة:

الخطوات:

1- ابدأ برسم قطعة مستقيمة أفقية أب

2- في نهاية القطعة عند ب، ارسم قطعتين بنفس الطول أب على أن يحصرا بينها زاوية قياس 120ْ.

3- ارسم قطعة مستقيمة بنفس الطول وموازية للقطعة أب، وكذلك قطعة مماثلة كما بالشكل.

سوف تعتبر هذه الوحدة الهندسية هي أساس وقاعدة التكرارات.

4- كرر الوحدات السابقة عدة مرات.

خمن : كم عدد القطع المستقيمة المتكونة في التكرار الثامن عشر ؟

وكم سيكون عدد القطع المتكونة بعد نهاية التكرار الثاني عشر ؟

 

 

ومن الأشكال الهندسية الفراكتالية المعروفة:
- مثلث سيربرنسكي.
- مجموعة كانتور.
- مجموعة جوليا.

للمزيد عن الموضوع رجاء الإطلاع:

http://classes.yale.edu/Fractals/
http://www.mbadr.net/articles/nkb1.htm
http://afaqmath.com/both15.html



وفقكم الله ... ،

 

 

بارك الله فيك اختي امل على الموضوع

 

 

موضوع رائع تشكرين عليه أخت أمل

 

 

الأخت امل شكرا جزيلا على هذا الموضوع الذي لم اسمع عنه من قبل لكن في موقع حملت برنامج يرسم اشكال هندسية هي عبارة عن تكرار عدد كبير لشكل معين وبعدة نماذج
رابط البرنامج هو:
http://3d-xplormath.org/j/docs/en
البرنامج عبارة عن برنامج يعمل بالجافا وهو يرسم اشكال هندسية ثنائية وثلاثية الابعاد كما ان حجمه صغير

 

 

مشكوره أختي أمل وفي ميزان حسناتج انشاالله

 

 

والله مشكورين كتير على كل اللى بتقدموه لنا من وقتكم وجهودكم المتمثلان فى مشاركاتكم الثرية وفقنا الله واياكم للخير

 

 

وفقكم الله لما هو خير
عرضت قناة الجزيرة الوثائقية برنامج "صيد البعد الخفي"عن موضوع هندسة التشعبات او الفراكتل