ارجو المعذرة لو كان موضوعي مكرر لكني جديد في المنتدى و بحثت عن هذه المواضيع و لم اجدها كما وجدت اسئلة ن بعض الاخوة عن الاعداد المركبة فاحببت ان اساعد من لم تمر عليه هذه الافكار او من سبق و قراها و يشعر انه نسيها و ان لم يكن مكرر ارجو التثبيت
1-
الدوال المركبة :
اذا فرضنا z متغير مركب بدلالة x , y حيث z=x+iy
فالدالة المركبة f(z) function of complex variable
f (z) = X(x,y) + i Y(x,y) / f : D---> C
مع التمييز بين الاحرف الكبيرة و الصغير ة

2-
نعرف دالة مركبة f(z) analytic في المجال D حيث z متغير بدلالة x,y اذا كانت f قابلة للاشتقاق على طريقة Frechet في كل من x,y
وهذا الشرط يتضمن ان تحقق x , y شروط Riemann :



3_ انواع المجال :
مجال متصل بسيط , مجال متصل مزدوج , مجال متصل معقد

لاحظ المجال المزدوج كانه محدود باطارين
النقاط الحمراء تمثل النقاط التي تجعل الدالة غير معرفة ..



4_التكامل الخطي للدوال المركبة:
( Complex line integral for analytic complex function)
يعرف التكامل الخطي لهذه الدوال كما يلي:


5- نظرية كوشي في تكملات الدوال المعقدة (المركبة):
اي دالة مركبة f(z) analytic معرفة على المجال D المتصل البسيط المغلق بالاطار L فان التكامل الخطي للدالة على اطارL= ٠




وهي نظرية رائعة فمهما كان شكل المجال المغلق دائرة ام قطع او اي شكل مغلق بدلا من ان نجزؤه الى مجموعة مستقيمات و نكشف معادلاتها و نجزء التكامل ثم نجمع ... نستطيع من اول نظرة ان نقول انه مجال مغلق و التكامل الخطي على اطاره = ٠
مثبلا الدالة : f(z) = z^2-3 نريد ان نحسب التكامل الخطي لها على اي مجال مغلق مهما كان شكله التكامل = ٠

- نظرية كوشي المعممة للمجالات المتصلة المزدوجة و المعقدة
في المجال المتصل المزدوج:
الدالة f(z) analytic على المجال D\{a}= T
a نقطة من D تكون الداالة غير معرفة عندها و l هو اطار يحدد a اما L هو اطار المجال D وتنص النظرية ان تكامل الدالة على الاطار L = التكامل على اطار l
و كاننا نقتصر التكامل حول a النقطة التى تجعل الدالة غير معرفة



- تعميم على المجالات المتصلة المعقدة :
اذا كانت f معرفة على المجال D \{ a1,a2,a3,...an} =T
حيث a1,a2,...an مجموعة من النقاط تجعل f غيرمعرفة محاطة باطارات : l1,l2,l3,...ln



6- تطبيقات :
احسب التكامل: I


الدالة في هذه الحالة ANALYTIC على اي مجال ماعدا النقطة a اذن مجال مزدوج تخيل دائرة l مركزها a و نصف قطرها r فيكون التكامل على الدائرة مساويا التكامل على المجال المطلوب
عوض (z-a) ب : r.e^it
; t€ (0,2p) -->dz= rie^it dt
ويؤول التكامل الى 2p i
(p=380 degree) i= sqrt (-1
هذا الناتج يعتبر من اهم الاعداد المركبة

7- النظرية النهائية لتكامل كوشي :
اهمية هذه النظرية بربط مشتقة الدالة من الدرجة n مع القطبين الدرجة n+1 مثلا اذا عندك بالمقام 2^(z-a) فان a قطب من الدرجة 2
اما f وفوقها n يعني مشتقة n مرة


مثال:



لاحظ ان لدينا a1=0 , a2=2i
لكن a2 لا تنتمي للمجال المطلوب تبقى مشكلة واحدة عند a=0


مساوئ نظرية كوشي في التكاملات المعقدة:
من اهم مساوئ هذه النظرية انك تضيع و قتا في فك الدالة لكي تجعلها مجموعة دوال صغيرة كل منها لا يواجة مشكلة في اكثر من نقطة والا ستضطر لانشاء اطار حول كل a1,a2...an و هذا اصعب و اصعب
لذلك كانت افضل نظرية لحل هذه التكاملات هي RESIDUE THEORY التى جاءت بعد اكتشاف العالم Laurent سلسلة Laurent الشهيرة و كان غرضي من كل هذا الموضوع هو هذه النظرية التي لها تطبيقات مهمة جدا خاصة في بعض التكاملات للدوال الحقيقية الصعبة الحل :
RESIDUES THEORY:

لاي نقطة تجعل الدالة غير معرفة بامكاننا ايجاد residue و ساقتصر على الاقطاب
كما ذكرت : a هي قطب من الدرجة k اذا كانت في المقام :
(z-a)للقوة k في مقام الدالة بحيث تجعل نهايتها = infinity
تحسب res(f,a) residue


و يعطى التكامل للدالة بالعلاقة:



فايهما اسهل تكامل معقد ام نهاية بسيطة??
مثال :





خطوات الحل:
1-ارسم المجال المطلوب تكامل عنده
2-فتش عن النقاط التي تجعل f غر معرفة
3- خذ فقط النقاط المنتمية للمجال
4-احسب نهاية الدالة عند هذه النقاط لتقرر درجة القطب
5-عوض في علاقة res و احسبها لتلك النقاط و اجمع النواتج
6-التكامل المطلوب هو الناتج السابق ضرب 2pi

ساكتفي اليوم ببعض الامثلة و ان شاء الله قريبا ساذكر امثلة عن تكاملات في مجموعة الاعداد الحقيقية تحل بكل سهولة بما يسمى residues

 

 

كما سبق و وعدت ان اضع امثلة لبعض التكاملات في مجموعة الاعداد الحقيقية و التي يصعب حلها بالطرق التقليدية بينما تحل بسهولة باستعمال residues
وهناك انواع منها
النوع الاول : تكون الدالة على شكل قسمة كثيري حدود و التكامل من سالب لانهاية الى لانهاية و اليكم التوضيح مع خطوات الحل:


امثلة:




لاحظ النواتج و حاول الحساب بطرق اخرى ستلاحظ مدى سهولة الحل بهذه الطريقة وما توفره عليك من مجهود

في حالة وجود شئ غير واضح ساكون جاهز لخدمتكم وترقبو المزيد من الانواع و الامثلة قريبا ان شاءالله وتقبلو تحياتي

 

 

بارك الله فيك أستاذي لورِنت .. فعلا أحتاج لمثل هذا ..
جهد مبارك أستاذي ..شكري وخالص امتناني ..

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
جزاك الله خيراً أستاذنا الكريم
لا حرمك الله الأجر والمثوبة .... ،

 

 

مشكورين اخوتي امل و رياضية على مروركم اللطيف و اشكر جميع الاعضاء الذين مروا و اشكر المنتدى على التشجبع الذي يمنحه لاعضائه على تبادل الافكار القيمة
اعترضني تكامل في سؤال احتمالات
و لم يخطر ببالي طريقة لحله الا باستعمال residues مع اني اشعر انه قابل للحل بطريقة اخرى او ربما بتحليل الدالة الى سلسلة تايلور
اليكم التكامل و ارجو المحاولة بطرق اخرى (الناتج طلع 2p/3


استخمدت طريقة الحل المشروحة اعلاه (residues) بالاضافة لعلاقة الجذر من الدرجة n لعدد مركب وهي:

مع الانتباه ان k يجب ان تاخذ كل القيم من 0--->n-1 و لكل k جذر جديد للعدد المركب
******************************************
لزيادة التوضيح:
كما كنا نجذر سابقا في مجموعة الاعداد الطبيعية العدد 4 جذرا تربيعيا
كنا نقول جذر 4 = 2
في الاعداد الصحيحة و الحقيقية اصبح للمعادلات التربيعية جذران (قد يكونا متساويين في بعض الحالات) و اصبح للعدد 4 جذران 2 , -2
لكن لو حاولنا حل معادلة من درجة 3 في هذه المجموعة:
x^3 -1 =0
---> (x-1)(x^2 + x + 1)=0
حسب المتطابقات الشهيرة..
ومنه : x=1 اما الجزء الاخر ليس له حل في ح
اذا لدينا فقط جذر واحد لمعادلة من الدرجة 3 !
لماذا? اليس من الاقرب للمنطق ان يكون لمعادلة من الدرجة 3 ثلاث جذور? كما كان للتربيعية جذران??
الجواب هو ان مجموعة الاعداد ح غير منصفة للاسس االاكبر من ٢
و بشكل خاص غير منصفة للاسس الفردية..
اما الان و في مجموعة الاعداد المركبة بعد النظر الى علاقة الجذر من الاس n لعدد مركب نلاحظ انه لكل معادلة من درجة n عدد n من الجذور (بتعويض k من 0 الى n-1)
تفسير:
في المعادلة التكعيبية اللتي تم ذكرها اعلاه بعد تحليلها نتجت معادلة تربيعية مستحيلة الحل في ح اما في مجموعة الاعداد المركبة لها
جذران حيث يمكننا جذر العدد السالب تربيعيا..
******************************************
المهم مسالتنا هي ايجاد ذلك التكامل
الخطوات المتبعة :
1-الشروط
2-g(z) complex variable
3-علا قة الجذر n لعدد مركب
4- تحليل المقام بدلالة جذوره (z-z1) .....
5_لاحظ الجذور مترافقة لذا فلا داعي لايجاد RES بتفكيك المقام مرتين اوجد RES لجذر معين ثم استبدل في الناتج كلi ب -i فتحصل على RES الجذر المرافق..ولا تنسى اننا نريدres للجذور ذات الجزء التخيلي الموجب
6-اجمع res و اضرب الناتج ب 2p i تحصل على التكامل
و اليكم الحل و ارجو ممن يحل هذا التكامل بطرق اخرى اعلامي بالحل .(الناتج طلع 2p/3 )
مع تمنياتي لمنتدانا و اخوتي الاعضاء باسعد الاوقات و المشاركات المفيدة..

 

 

بارك الله فيك و جازاك ورزقك من حيث لا تحتسب و جعلك ذخرا للإسلام و المسلمين

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ..

مجهود رائع أخي ... luarent ... رجاء المتابعة ..

هل تصلح القاعدة التالية:

 

 

أولا أحب أن أشكر الأعضاء الكرام على التشجيع و على الأفكار الرائعة شكرا نوالردين شكرا mmmyyy
ثانيا أعتذر لتقصيري في المدة الاخيرة في المنتدى وذلك يعود الى انشغالي في هذه الفترة لاكمال أبحاث كنت قد بدأت بها .. و لكن المنتدى دائما في قلوبنا نحن الاعضاء
ثالثا الطريقة التي ذكرتهاأخي الكريم تبدو صحيحة وأن شاءالله برهانها على الطريق لكن ردك ولد عندي فكرة ارجو مشاركتي في رأيك لربما اختلطت علي بعض الأمور
مشكور على حماسك و مرورك و شكر جزيل للمنتدى و جميع الأعضاء الكرام

 

 

تشكرون على هذه الشروحات الوافية ... والله لقد وجدت فيها ضالتي
محتاج جدا لأفهم هذه النظريات ( الرواسب ) . وياليت مزيدا من الشروحات والأمثلة
جزاكم الله خيرا وجعل أعمالكم في ميزان حسناتكم

 

 

سؤال لأخواني ممكن اعرف معنى علامة التكامل التي في وسطها دائرة مغلقة و حبذا لو كان ضمن تعريف رياضي