حلول تمارين
هندسة مستوية للمتفوقين

 

 

أثبت أن أصغر متوسطات المثلث هو الذى ينصف أكبر أضلاعه

نفرض أن الضلع ب ج هو الضلع الأكبر

ومنتصفات الأضلاع كما بالشكل : أ د ، ب هـ ، ج و

باستخدام نظرية أبولونيوس :

2*(أ د)^2 = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 1/2*(ب ج)^2
2*(ب هـ)^2 = (أ ب)^2 + (ب ج)^2 - 1/2*(أ ج)^2
2*(ج و)^2 = (أ ج)^2 + (ب ج)^2 - 1/2*(أ ب)^2

(ب هـ)^2 - (أ د)^2 = 3/2*[(ب ج)^2 - (أ ج)^2]

وحيث ب ج > أ ج
[(ب هـ)^2 - (أ د)^2] > 0
أ د < ب هـ

(ج و)^2 - (أ د)^2 = 3/2*[(ب ج)^2 - (أ ب)^2]

وحيث ب ج > أ ب
(ج و)^2 - (أ د)^2 > 0
أ د < ج و

 

 

دائرة نصف قطرها 1سم وبها اربعة اوتار متقاطعة مثنى مثنى لتكون ما بينها مربعا مساحتة 1سم2
احسب مساحة القطع الباقية

مساحة القطعة الدائرية المحصورة بين الوتر ج د والقوس الدائرى = 1/2*(1)^2 [ط/3 - جاط/3] = ط/6 - جذر3 /4

مساحة القطعة أ ج د ب = مساعة القطعة الدائرية + مساحة المستطيل = [ط/6 - جذر3 /4] + [ 1* (جذر3 /2 - 1/2)]
= ط/6 + جذر3 /4 - 1/2

مساحة القطعة الدائرية المحصورة بين الوتر د و والقوس الدائرى = 1/2 * (1)^2 [ط/6 - جاط/6] = ط/12 - 1/4

مساحة القطعة ب د و = مساحة القطعة الدائرية + مساحة المثلث = [ط/12 - 1/4] + [ 1/2*(جذر3 /2 - 1/2)^2]
= ط/12 - جذر3 /4 + 1/4

حيث أن القطعة أ ج د ب مطابقة لثلاث قطع آخرين - كما بالشكل
وكذلك القطعة ب د و مطابقة لثلاث قطع آخرين - كما بالشكل

إجمالى مساحات القطع الثمانى = 4*[ مساحة القطعة أ ج د ب + مساحة القطعة ب د و ]
= 4*[ ط/6 + جذر3 /4 - 1/2 + ط/12 - جذر3 /4 + 1/4 ]
= ط - 1

للتحقق :

مساحة الدائرة = ط نق^2 = ط سم^2
مساحة المربع = 1 سم^2

إجمالى مساحات القطع = مساحة الدائرة - مساحة المربع = ط - 1

 

 

أ د ، ب هـ ، ج و منصفات زوايا فى المثلث أ ب ج

اثبت أن : مجموع أطوال المنصفات أكبر من محيط المثلث

 

 

زاوية ب أ د = زاوية ج أ د
زاوية ب أ د = زاوية ب ج د ( زاويتان محيطيتان على الوتر ب د )
فى المثلث د ب ج : زاوية ب = زاوية ج ... ... د ب = د ج

زاوية و ج د = زاوية هـ ج ب + زاوية ب ج د
زاوية هـ ج ب = زاوية هـ أ ب ( محيطيتان على الوتر ب هـ )
زاوية ب ج د = زاوية ب أ د = زاوية د أ ج
زاوية هـ و أ خارجة عن المثلث أ و ج = زاوية و أ ج + زاوية و ج أ = زاوية و ج د
زاوية هـ و أ = زاوية ج و د ( بالتقابل بالرأس )
زاوية ج و د = زاوية و ج د
د و = د ج
إذن : د ب = د ج = د و

وبنفس الطريقة يمكن إثبات بقية المطلوب

والرسم عاليه يوضح الزوايا المتساوية

د ب = د ج ... ... زاوية د ب ج = زاوية د ج أ
زاوية د ب ج = زاوية د أ ج ( محيطيتان على الوتر د ج )
زاوية ب ج د = زاوية د أ ب ( محيطيتان على الوتر د ب )
إذن : زاوية د أ ج = زاوية د أ ب ... ... أ د منصف زاوية أ بالمثلث أ ب ج

وبنفس الطريقة يمكن إثبات بقية المطلوب

والرسم عاليه يوضح الزوايا المتساوية

 

 

ا ب ج د شبه منحرف فيه
اب =50
ج د =160
ا ب \\ ج د
مساحة ا م د =2000 حيث م نقطة تقاطع قطريه

اوجد مساحة شبه المنحرف

مساحة شبه المنحرف = (50 + 160)/2 * ع

= مساحة المثلث أ ب ج + مساحة المثلث أ م د + مساحة المثلث م ج د
= 50/2 *ع + 2000 + 160/2 *( ع - ع1)

مساحة المثلث أ ب ج = مساحة المثلث أ ب د = مساحة المثلث أ ب م + 2000
50/2 *ع = 50/2 *ع1 + 2000
ع - ع1 = 80

(50 + 160)/2 *ع = 50/2 *ع + 2000 + 160/2 *80
ع = 105

مساحة شبه المنحرف = 210/2 *105 = 11025

 

 

إنشاء مثلث بمعلومية ارتفاعاته

 

 

اثبت أن نصف قطر الدائرة المماسة لأضلاع المثلث من الخارج = مساحة المثلث / ( ح - أَ)

حيث ح = نصف محيط المثلث ،
أِ = طول ضلع المثلث المماس للدائرة وليس امتداده ( كما بالشكل )

 

 

اثبت أن نصف قطر الدائرة الداخلة للمثلث = مساحة المثلث / نصف محيط المثلث