التباين والانحراف المعياري .. .

 

 

	التباين: هو مقياس لاختلاف البيانات وتشتتها، وهو متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، ويرمز له بالرمز S2 ويحسب من الصيغة الرياضية الآتية: S2 = [ ∑ (xi – `X )2] / n , i = 1, 2, 3, ..., n ويمكن القسمة على n – 1 في حالة العينة وهو ما يعرف بالقيم الحرة أو درجات الحرية حيث القيمة المتبقية من n يكمل انحرافها عن الوسط الحسابي للصفر لأن مجموع انحرافات القيم عن وسطها يساوي الصفر. S2 = [ ∑ (xi – `X )2] / ( n – 1 ) , i = 1, 2, 3, ..., n أما في حالة المجتمع فنستخدم الصيغة الرياضية الآتية: σ2 = [ ∑ (xi – μ )2] / N , i = 1, 2, 3, ..., N حيث S2 تباين العينة ، σ2 تباين المجتمع. التباين يتعامل مع مربع الانحراف عن الوسط وهذا يعطي قياس غير ذو معنى مثل مربع الكيلوجرام أو مربع الدينار ولذا يفضل إرجاع ذلك (بأخذ الجذر التربيعي) للمعنى المقبول مثل الكيلوجرام والدينار وما إلى ذلك من وحدات وهذا الجذر ألتربيعي هو الانحراف المعياري لعينة ما. .. .

 

 

	التباين: هو مقياس لاختلاف البيانات وتشتتها، وهو متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي، ويرمز له بالرمز S2 ويحسب من الصيغة الرياضية الآتية: S2 = [ ∑ (xi – `X )2] / n , i = 1, 2, 3, ..., n ويمكن القسمة على n – 1 في حالة العينة وهو ما يعرف بالقيم الحرة أو درجات الحرية حيث القيمة المتبقية من n يكمل انحرافها عن الوسط الحسابي للصفر لأن مجموع انحرافات القيم عن وسطها يساوي الصفر. S2 = [ ∑ (xi – `X )2] / ( n – 1 ) , i = 1, 2, 3, ..., n أما في حالة المجتمع فنستخدم الصيغة الرياضية الآتية: σ2 = [ ∑ (xi – μ )2] / N , i = 1, 2, 3, ..., N حيث S2 تباين العينة ، σ2 تباين المجتمع. التباين يتعامل مع مربع الانحراف عن الوسط وهذا يعطي قياس غير ذو معنى مثل مربع الكيلوجرام أو مربع الدينار ولذا يفضل إرجاع ذلك (بأخذ الجذر التربيعي) للمعنى المقبول مثل الكيلوجرام والدينار وما إلى ذلك من وحدات وهذا الجذر ألتربيعي هو الانحراف المعياري لعينة ما. .. .

 

 

	الانحراف المعياري: ببساطة نقول إن الانحراف المعياري هو الجذر ألتربيعي للتباين، ومن الملاحظ أن التباين يقاس بالوحدات المريعة وليس بوحدات المتغير والانحراف المعياري يقاس بنفس وحدات المتغير محل ظاهرة الدراسة. الانحراف المعياري هو أفضل مقاييس التشتت وأشهرها استخداماً بالرغم من صعوبة حساباته حال كبر حجم العينة ولكن الحاسب الآلي سهل هذه الصعوبة. تستخدم الصيغ الرياضية السابقة لحساب الانحراف المعياري سواء s للعينة أو σ للمجتمع .. .

 

 

	معامل الاختلاف: يستخدم لمقارنة التشتت بين مجموعتين (المتغيرات النفسية) وذلك للاختلاف الواضح في الوسط الحسابي لمجموعتين من حيث القيمة فصغر الوسط الحسابي في المجموعة الأولى في مقابل كبره في المجموعة الثانية وهو النسبة المئوية بين الانحراف المعياري والوسط الحسابي وبالتالي لا يعتمد على وحدات المتغير الأصلي وبالتالي يمكن استخدامه لمجموعتين مختلفتين في الوحدات، ويحسب من الصيغة الرياضية الآتية: معامل الاختلاف = 100( الانحراف المعياري ÷ الوسط الحسابي) .. .

 

 

	.. .

 

 

نحسب التباين من القانون أعلاه:

S2 = [ ∑ (xi – `X )2] / ( n – 1 )

= 72 / 6

= 12

الانحراف المعياري يساوي الجذر ألتربيعي للتباين أي:


S.D = 3.46

حل آخر باستخدام القيم دون الوسط الحسابي بعد وضع القانون أعلاه في صورة جديدة كما يأتي:

S2 = [ ∑ (xi – `X )2] / ( n – 1 )

∑ (Xi –`X )2 = ∑ ( X2 – 2 Xi`X + (`X )2 )

2`X constant (in sample) Then ∑ 2 Xi`X = 2`X ∑Xi

∑ (X–`X )2 = ∑ (Xi2 )– 2`X ∑(Xi) + ∑(`X )2

`X = ∑(Xi) / n Then ∑(Xi) = n`X , ∑(`X )2 = n(`X )2

= ∑ (Xi2 )– 2n(`X )2 + n(`X )2

= ∑ (Xi2 ) – n(`X )2 ,`X = ∑(Xi) / n

= ∑ (Xi2 ) – (∑Xi)2 / n

S2 = [∑ (Xi2 ) – (∑Xi )2 / n] / ( n – 1 ) ... (1)

Or

S2 = [( ∑Xi2 ) – n`X2 ] / ( n – 1 ) ... (2)

..
.

 

 

	.. .

 

 

بتطبيق هذه الصيغة رقم (1):

S2 = [∑ (X2 ) – (∑X )2 / n] / ( n – 1 )

S2 = [1864 – (112 )2 / 7] / (7 – 1 )

S2 = [1864 – 1792] / 6

S2 = 72 / 6

S2 = 12 التباين

الانحراف المعياري هو الجذر ألتربيعي للتباين أي:

S.D = 3.46

..
.

 

 

بتطبيق هذه الصيغة رقم (2):

S2 = [( ∑Xi2 ) – n`X2 ] / ( n – 1 )

S2 = [1864 – 7(16 )2] / (7 – 1 )

S2 = [1864 – 1792] / 6

S2 = 72 / 6

S2 = 12 التباين

الانحراف المعياري هو الجذر ألتربيعي للتباين أي:

S.D = 3.46

..
.