السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
اوجد جميع الاعداد الحقيقية التى تحقق
س^4 + ص^4 + ع^4 + 1= 4 س ص ع

 

 

علي ما اعتقد يا اخي ويارب اكون مستعجلتش
الوسط الحسابي لعدة اعداد حقيقية موجبة اكبر من او يساوي وسطها الهندسي
فلو فرضنا الاعداد هي س^4 ، ص^4 ، ع^4 ، 1 الموجود في الطرف الايمن
وسطها الحسابي هو (س^4 +ص^4 +ع^4 +1 ) / 4
ووسطها الهندسي هو موجب او سالب الجذر الرابع (س^4ضرب ص^4 ضرب ع^4 ضرب 1)
= س ص ع (الجذر الموجب )
اذن س^4 +ص^4 +ع^4 +1 اكبر من او يساوي 4 س ص ع
والحالة الوحيدة التي يتساوي فيها الطرفان عندما تكون الاعداد متساوية
اي س ^4 = ص^4 = ع ^4 =1 ومنها س = ص = ع = 1 او -1
مجموعة الحل {1 ، 1،1} ، او اثنان سالبان والثالث موجب اي لها اربع حلول

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

لدي اثبات ولكني اعتقد انه غير قوي رياضيا.

المعادلة السابقة لها حل عندما تكون جميع الاعداد حقيقية موجبه او اثنان منها حقيقيان سالبان والاخر حقيقي موجب.

بينما ليس لها حلول عندما يكون احد الاعداد مساوي للصفر او تكون جميع الاعداد حقيقية سالبه.

لنفرض الحاله الاولى ، جميع الاعداد حقيقية موجبه. فان



وبالتالي فان الداله f ( وعند ثبات y و z ) تتناقص عند x صغيره ثم تتزايد بعدما x^3=yz ، وكذلك ايضا بالنسبه للمتغيرات الاخرى y and z .

اذن للداله قيمه صغرى عند تحقق



وهذه المعادلات تعطي الحل 1 و1 و1 . وعند هذه القيم تكون الدله مساويه للصفر . اذن الداله لها حل وحيد عند تلك القيم ، وعندما تكون المتغيرات حقيقية موجبه.

وبدراسة الحاله الثانيه ، عندما يكون احد المتغيرات فقط موجب والاخران سالبان ، فاننا ننتهي الى نفس المعادلات ، وبايجاد الحلول نجدها 1 و -1 و -1.