السلام عليكم
أود أن أقترح طريقة أخرى لحل المسألة واتمنى ان تكون منطقية و صحيحة باذن الله
اسمحوا لي اولا بان اشرح فكرتي :
أود أن استعمل فقط الشرط الكافي لمعرفة رتابة دالة f
اي : مهما يكن x و y من مجال تعريف الدالة f
اذا كان xf(y فان f تناقصية قطعا
اذن :
ليكن x1
اذن لنقارن :
x^(1/x-1 و ((y^(1/(y-1
نرفع الحدين الى القوة (y-1)*(x-1)
فنحصل على :
x^(y-1 و (y^(x-1
يمكن كتابة x^(y-1) على الشكل التالي :
x^(y-1)=exp((y-1)*log(x
اذن لنبين أن : exp((y-1)*log(x))/exp((x-1)*log(y)>1
أي exp((y-1)*log(x)-(x-1)*log(y))>1
يكفي أن نبين :
y-1)*log(x)-(x-1)*log>0
لتكن الدالة g معرفة ب:
g(x,y)=(y-1)*log(x)-(x-1)*log(y
لنقم بدراسة رتابة الدالة g
الاشتقاق بالاجزاء ل g يعطي :
g'=(y-1)/x-(x-1)/y
لاحظ أن g'>0
وبما أن x>1 و y>1
فان g(x,y)>g(1,1
أي مهما يكن x ; y أكبر قطعا من 1
فان : g(x,y)>0
و حسب ما سبق فان f(x)>f(y
ومنه الدالة f تناقصية قطعا مهما يكن x>1
وهذا اذا كان x>=2
فان الخاصية صحيحة مع f(2)=2
أتمنى أن يكون جوابي صحيحة

 

 

لا أعلم لماذا دائما لا تظهر بعض السطور؟

 

 

صيغة الدالة
f(x)=x^(1/(x-1
مع x>1
اذن لنقارن( f(x و (f(y

 

 

أرجو المعذرة
الشرط الكافي لمعرفة رتابة دالة f
نفترض أن x اصغر من y :
اذا كانت f(x أكبر من f(y نقول أن f تناقصية قطعا و العكس صحيح

أرجو المعذرة على هذه الكتابة لأنه عندما اكتبها بالرموز لا تظهر
من فضلكم أريد حلا لهذه المشكلة
مع كامل تقديري لكم

 

 

أرجو المعذرة
المشتقة بالاجزاء ل :
من الواضح كما ذكرت أن g'(x,y)>0
يمكنكم تطبية مبرهنة التزايدات المنتهية على الداة Log في المجال[x,y]