اثبت ان
1+مضروب1+x2مضروب2 ................(ن+1)xمضروب ن+1 =مضروب ن+2
ارجو الحل مع التوضيح

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
بسم الله الرحمن الرحيم

الحل
س= 1+1!+2×2! + 3×3!+4×4! + ......................+ (ن+1) (ن+1)!

س=1+1!+2×2! + 3×3!+4×4! + ......................+ (ن+1) (ن+1)!
+[1!+2!+3!+ .......................+(ن+1)! ]
-[1!+2!+3!+ .......................+(ن+1)! ]
س=1+(1!+1!) +(2×2!+2!) +(3×3!+3!) ........................+[(ن+1)(ن+1)!+ن+1)!] -[ 1!+2!+3!+ .......................+(ن+1)! ]
س= 1+2!+3!+4!+ ....................................+ (ن+2)!
-[ 1!+2!+3!+ .......................+(ن+1)! ]
س= (ن+2)!

هذا و الله أعلم

 

 

اشكرك كثيرا ارجو ان تفيدني ببعض التمارين المماثلة

 

 

يمكن إثبات تلك العلاقة باستخدام مبدأ الإستنتاج الرياضى كالآتى :

عندما ن=1 تجد أن الطرفان متساويان وكل منهما يساوى يساوى 6
بفرض أن العلاقة صحيحة فى حالة ن= ك

إذن عند ن=ك+1
نجد أن الطرف الأيمن بساوى
مضروب (ك+2) + (ك+2)*مضروب (ك+2)
= (ك+3)*مضروب (ك+2) = مضروب (ك+3)= الطرف الأبسر
لذلك العلاقة صحيحة فى حالة ن= ك+1
لذلك العلاقى صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية .

وبالله التوفيق