السؤال الـ 25 من لجنة الحكم

افرض ان أ و ب عددين حقيقيين تم اختيارهما عشوائيا من الفترة [ 1 ، 0 ]

أوجد احتمال أن المسافة بين جذري المعادلة :

ع² + أ ع + ب = صفر لا تتجاوز ( أي المسافة ) الـ 1 .

( في المستوى التخيلي/الأعداد التخيلية أو العقدية)

بالتوفيق للجميع

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

البعد بين جذري المعادلة المعطاة له الشكل:

حيث y1,y2 هما جذراها

لكن من الفرض نستطيع أن نكتب مايلي:

حيث:
p1 احتمال انتماء المميز إلى المجال الموافق في الحالة الأولى
p2 احتمال انتماء أمثال i في المميز إلى المجال الموافق في الحالة الثانية

نعيد كتابة قانون المسافة :

حيث:
pً1 احتمال انتماء البعد إلى المجال الموافق في الحالة الأولى
(لاحظ نسبة المجال [1,0] إلى المجال الموافق)
pً2 احتمال انتماء البعد إلى المجال الموافق في الحالة الثانية
(لاحظ نسبة المجال [1,0] إلى المجال الموافق )

وبالتالي نحسب الاحتمال كمايلي:

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات

المعادلة ع2 + أ ع + ب = صفر

حيث أ , ب عددان حفيفيان ينتميان للفترة [ 0 , 1]

مميز المعادلة (أ2 – 4 ب)

فى حالة أ2 – 4 ب <= صفر يكون الجذران عددان مركبان مترافقان

وجذرى المعادلة ل , م حيث

ل= س + ت ص

م = س – ت ص

حيث س , ص عددان حقيقيان موجبان , ت2 = -1

س = -أ \ 2

ص = (جذر( 4 ب – أ2)) ÷ 2

ومع ملاحظة أن س سالبة دائما

فهما يمثلان فى المستوى التخيلى نقطتان متناظرتان حول محور السينات

مقياس البعد بينهما = | 2 ص | = جذر ( 4 ب – أ2)

واقعتان على نصف الدائرة التى معادلتها

س2 + ص2 = ب بشرط س <= صفر

وحيث أن ب تنتمى للفترة [ 0 , 1 ] فإن

جذرى المعادلة ينتميان المنطقة التى تحقق المتباينة

س2 + ص2 <= 1 بشرط أن س <= صفر

وللحصول على جذرين البعد بينهما <= 1

يجب أن تكون | ص| <= 1 \ 2

أى أن الجذران ينتميان للمنطقة المحصورة بين المستقيمان

ص <= 1 \ 2 & ص >= -1 \ 2 داخل المنطقة السابقة

مساحة هذه المنطقة م = 0.5 ( مساحة دائرة الوحدة – ضعف مساحة

القطعة الدائرية التى زاويتها المركزية 120 فوق

والواقعة فوق المستقيم ص = 1 \2)

م = 0.5 ( ط – ( 2ط \ 3 – جا 2(ط \3))) = 0.5(ط \ 3 + جذر(3) \ 2)

وعلى ذلك فالإحتمال المطلوب

ح = النسبة بين مساحة المنطقة م إلى نصف مساحة دائرة الوحدة

ح = 1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط

شكرا لكم

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات

مرحباً بالأخ الكريم حسام محمد

توضيح لفكرة الحل السابق

*****
حيث أنى لم أتطرق لبحث إحتمال أن يكون البعد بين جذرين المعادلة <= 1

فى حالة كون جذرى المعادلة عددان حقيقيان

لكونه حدث مؤكد إحتماله يساوى الواحد الصحيح

لجمبع قيم أ , ب التى تحقق شرط أن يكون مميز المعادلة أ2 - 4 ب >= صفر

وتفسير ذلك كما يلى

حيث أن أ , ب عددان حقيقيان ينتميان للفترة [ 0 , 1]

فإن أ2 - 4 ب <= 1 أيضاً

والبعد بين الجذرين فى هذه الحالة = الجذر التربيعى ( أ2 - 4ب) <= 1

لجمبع قيم أ , ب التى تحقق شرط أن يكون الجذران حقيقيان

====

وهذا تصحيح لبعض الأخطاء المطبعية فى الحل السابق

الذى يبحث إيجاد إحتمال أن يكون البعد بين جذرين المعادلة <= 1

فى حالة كون جذرى المعادلة عددان تخيليان


المعادلة ع2 + أ ع + ب = صفر

حيث أ , ب عددان حقيقيان ينتميان للفترة [ 0 , 1]

مميز المعادلة (أ2 – 4 ب)

فى حالة أ2 – 4 ب < صفر يكون الجذران عددان مركبان مترافقان

وبفرض أن جذرى المعادلة ل , م حيث

ل= س + ت ص

م = س – ت ص

س , ص عددان حقيقيان موجبان , ت2 = -1

س = -أ \ 2

ص = (جذر( 4 ب – أ2)) ÷ 2

ومع ملاحظة أن س سالبة دائما

فهما يمثلان فى المستوى التخيلى نقطتان متناظرتان حول محور السينات

مقياس البعد بينهما = | 2 ص | = جذر ( 4 ب – أ2)

واقعتان على نصف الدائرة التى معادلتها

س2 + ص2 = ب بشرط س <= صفر

وحيث أن ب تنتمى للفترة [ 0 , 1 ] فإن

جذرى المعادلة ينتميان المنطقة التى تحقق المتباينة

س2 + ص2 <= 1 بشرط أن س <= صفر

وللحصول على جذرين البعد بينهما <= 1

يجب أن تكون | ص| <= 1 \ 2

أى أن الجذران ينتميان للمنطقة المحصورة بين المستقيمان

ص <= 1 \ 2 & ص >= -1 \ 2 داخل المنطقة السابقة

مساحة هذه المنطقة م = 0.5 ( مساحة دائرة الوحدة – ضعف مساحة

القطعة الدائرية التى زاويتها المركزية 120 والواقعة فوق المستقيم ص = 1 \2)

م = 0.5 ( ط – ( 2ط \ 3 – جا 2(ط \3))) = 0.5(ط \ 3 + جذر(3) \ 2)

وعلى ذلك فالإحتمال المطلوب

ح = النسبة بين مساحة المنطقة م إلى نصف مساحة دائرة الوحدة

ح = 1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط

شكرا لكم

----------------------------------
أما إذا كان المطلوب حساب إحتمال أن يكون البعد بين جذرى المعادلة <=1

سواء كان الجذران حقيقيان أو تخيليان

فهذا سؤال جديد تكمن فكرة حله فى المزاوجة

بين فكرة الحل التى أوردها الأستاذ القدير حسام محمد مع فكرة الحل الوارد هنا
-----------------------------------

وفق الله الجميع لما يحبه ويرضاه

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
الحمد لله الذى بنعمته تتم الصالحات

بحث إحتمال أن يكون البعد بين جذرين المعادلة الأتية <= 1

ع2 + أ ع + ب = صفر

حيث أ , ب عددان حقيقيان ينتميان للفترة [ 0 , 1]

مميز المعادلة يحقق المتباينة 1 >= أ2 – 4ب >= -4

أى ينتمى للفترة [ -4 , 1 ]

بناءً على ما سبق فإن جذرى المعادلة عددان حقيقيان

بشرط 1>= أ2 – 4 ب >= صفر

ويكون جذرى المعادلة عددان تخليان

بشرط 0 >= أ2 – 4 ب >= - 4

فيكون إحتمال أن يكون جذرى المعادلة حقيقيان

= النسبة بين طولى الفترتين [0,1] : [ -4 , 1 ] = 1\5

و يكون إحتمال أن يكون جذرى المعادلة تخيليان= 1 - 1\5 = 4\5

والبعد بين الجذرين = الجذر التربيعى ( أ2 - 4ب)

أولاً فى حالة الجذرين حقيقيان

فإن 1 >= أ2 – 4 ب >= 0 لجمبع قيم أ , ب التى تحقق شرط أن يكون الجذران حقيقيان

و إحتمال ذلك يساوى الواحد الصحيح لكونه حدث مؤكد لجمبع قيم أ , ب التى تجعل الجذرين حقيقيين

فيكون ح1 إحتمال أن يكون جذرى المعادلة حقيقيان والبعد بينهما <= 1 هو

ح1= 1 × 1\5 = 1\5 = 0. 2 نتيجة (1)

ثانياً فى حالة الجذران عددان مركبان مترافقان

وبفرض أن جذرى المعادلة التخيليان هما ل , م حيث

ل= س + ت ص

م = س – ت ص

س , ص عددان حقيقيان موجبان , ت2 = -1

س = -أ \ 2

ص = (جذر( 4 ب – أ2)) ÷ 2

ومع ملاحظة أن س سالبة دائما

فهما يمثلان فى المستوى التخيلى نقطتان متناظرتان حول محور السينات

مقياس البعد بينهما = | 2 ص | = جذر ( 4 ب – أ2)

واقعتان على نصف الدائرة التى معادلتها

س2 + ص2 = ب بشرط س <= صفر

وحيث أن ب تنتمى للفترة [ 0 , 1 ] فإن

جذرى المعادلة ينتميان المنطقة التى تحقق المتباينة

س2 + ص2 <= 1 بشرط أن س <= صفر

وللحصول على جذرين البعد بينهما <= 1

يجب أن تكون | ص| <= 1 \ 2

أى أن الجذران ينتميان للمنطقة المحصورة بين المستقيمان

ص <= 1 \ 2 & ص >= -1 \ 2 داخل المنطقة السابقة

مساحة هذه المنطقة م = 1 \ 2 × ( مساحة دائرة الوحدة – ضعف مساحة القطعة الدائرية

التى زاويتها المركزية 120 والواقعة فوق المستقيم ص = 1 \2)

م = 1 \ 2 × ( ط – ( 2ط \ 3 – جا 2(ط \3))) = 1 \ 2 ×(ط \ 3 + جذر(3) \ 2)

فيكون ح2 إحتمال أن يكون جذرى المعادلة تخيليان والبعد بينهما <= 1 مساوياً

ح2 = 4\5 × ( النسبة بين مساحة المنطقة م إلى نصف مساحة دائرة الوحدة )

ح2 = 4\5 × (1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط) = 4\5 × 0.6091 =0.48728 تقريباً نتيجة (2)

من(1) & ( 2) يكون حساب إحتمال أن يكون البعد بين جذرى المعادلة <=1

سواء كان الجذران حقيقيان أو تخيليان

ح = ح1 + ح2 = 1\5 + 4\5 × (1 \ 3 + جذر (3)\ 2 ط)

= 0.2 + 0.48728 = 0.68728

-----------------------------------

وفق الله الجميع لما يحبه ويرضاه

 

 

حلي السابق خاطئ يرجى عدم أخذه بعين الاعتبار

لكنها كانت محاولة مفيدة مع مزيد من التقدير لأستاذ الرياضيات

 

 

لكما إخواني

هل بالإمكان مراجعة الحل لأن جوابي مختلفا

اقتباس :

أما إذا كان المطلوب حساب إحتمال أن يكون البعد بين جذرى المعادلة <=1

هذا هو المطلوب أخي :

اقتباس :

أوجد احتمال أن المسافة بين جذري المعادلة : ع<sup>2</sup> + أ ع + ب = صفر لا تتجاوز ( أي المسافة ) الـ 1 .

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مشرفنا الكريم uaemath لو سمحتم

أقدم رسماً توضيحياً للحل الأول للأخ الكريم أستاذ الرياضيات

حيث أني أجده مقنعاً حسب السؤال:

( في المستوى التخيلي/الأعداد التخيلية أو العقدية)

وهذا ماجعلني أتراجع عن فكرة المزاوجة كما أفادنا أستاذنا العزيز

الرسم التوضيحي المتعوب عليه :

 

 

شكرا أخي حسام على الرسمة الرائعة

حل اللجنة :