السلام عليكم :
هذا تمرين من المبياد أستراليا لعام 1990 و أود أن تقترحوا حلولكم :
المرجوا منكم كتابة رموز الحل بالأحرف اللاتنية حتى أتمكن من فهمها
التمرين :
أوجد جميع الدوال الحقيقية بحيث لكل عدد حقيقي x و y الدالة f تحقق :
f(2x)=f(sin(xPi/2+yPi/2))+f(sin(xPi/2-yPi/2))
و
f(x^2-y^2)=(x+y)f(x-y)+(x-y)f(x+y)
في الحقيقة وجدت الحل لكن أريد أن أتحقق
مع كامل تقديري

 

 

السلام عليكم
سوف اقترح جوابي و امل ان تكون منطقية لاني لحد الان لست متاكدا
وارجوا منكم ان تشاركوا باقتراحاتكم

لتكن f احدى هذه الدوال اذن :
مهما يكن x عددا حقيقيا لدينا :
ل y=0 :

و بأخد -x بدلا من x :
ل y=2 :

اذن الدالة f زوجية
الان
مهما يكن y من R| :
ل x=0 :
نستعمل الشرط الثاني :

ومنه =الدلة f منعدمة على
وبما ان f زوجية فانها منعدمة على باكملها
ومنه فقط الدالة f هي الدالة المنعدمة
عكسيا :
بما أن الدالة المنعدمة تحقق الشرطين اذن هي حل
ومنه فقط الدالة المنعدمة هي الوحيدة التي تحقق الشرطين
هل انا على صواب ؟ هل يمكن ان نجد مثال مضاد ؟
المرجوا منكم اعادة التحقق بطرقكم الخاصة وادراج نتائجكم