مسابقة أجمل حل - س 8 - الصفحة 2

10-03-2009, 12:57 AM

ما شاء الله

بوركت جهودكم

10-03-2009, 04:40 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا للجميع على هذه الحلول وهذه محاولة متأخرة

وبنفس الفكرة نصل إلى نتيجة الحالة العامة

10-03-2009, 06:26 AM

السلام عليكم و رحمة الله
شكرا للاخوة الأفاضل على الحلول الرائعة و هذه طريقة أخرى للحل
الحالة الخاصة
لتكن $(C)$ الدائرة التي معادلتها:
$C(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}-2a x-2by+c=0$
نعلم أن معادلة مماس الدائرة في النقطة $({x}_{0},{y}_{0})$ يعطى بالعلاقة التالية:
$(x-{x}_{0})({x}_{0}-a)+(y-{y}_{0})({y}_{0}-b)=0$
أو: $\frac{1}{2}\left( (x-{x}_{0})\frac{d}{dx}C({x}_{0},{y}_{0})\right)+\left( \frac{1}{2}(y-{y}_{0})\frac{d}{dy}C({x}_{0},{y}_{0})\right)=0$
إذا معادلة مماس الدائرة عند النقطة: $(0,3)$
$\frac{d}{dx}C(0,3)=-2a$ و $\frac{d}{dy}C(0,3)=6-2b$ و منه نجد معادلة المماس:
$-2a+(y-3)(3-b)=0$ وبماأن المستقيم $(x=0)$ ( محور الصادات ) مماس للدائرة في النقطة $(0,3)$ نجد:
$-a(0)+(y-3)(3-b)=0\Rightarrow (y=0)\vee (b=3)\Rightarrow b=3$
و من جهة أخرى لدينا:
$(0,3)\in C(x,y)\Leftrightarrow 9-6b+c=0\Leftrightarrow c=9$
$(9,0)\in C(x,y)\Leftrightarrow 81-18a+c=0\Leftrightarrow a=5$
${x}^{2}+{y}^{2}-10x-6y+9=0\Leftrightarrow {(x-5)}^{2}-25+{(y-3)}^{2}-9=0$
$\Leftrightarrow {(x-5)}^{2}+{(y-3)}^{2}=25$
و هي معادلة دائرة مركزها $(5,3)$ و نصف قطرها $R=5$

10-03-2009, 08:29 AM

هناك خطأ في كتابة معادلة المماس و الصحيح هو
معادلة مماس الدائرة عند النقطة $(0,3)$ هي:
$-ax+(y-3)(3-b)=0$

و كذلك تصحيح عند
$(y=3)\vee (b=3)\Rightarrow b=3$
فمعذرة على هذا الخطأ الغير مقصود

11-03-2009, 06:48 AM

السلام عليكم
طريقة أخرى لحل المسألة باستعمال الأعداد المركبة
الحالة الخاصة
معادلة الدائرة في المستوي المركب: $(C): z\bar{z}-\bar{{z}_{0}}z-{z}_{0}\bar{z}+\beta =0$
حيث: $z=x+iy$ و $M({z}_{0})$ مركز الدائرة ذات اللاحقة: ${z}_{0}=x+iy=Re({z}_{0})+iIm({z}_{0})$
و نصف قطر هذه الدائرة:
$R=\sqrt{{\left|{z}_{0} \right|}^{2}-\beta }$
و لتكن النقط: $A({z}_{A})/{z}_{A}=9$ و $B({z}_{B})/{z}_{B}=3i$
لدينا:
${z}_{A}\in (C)\Leftrightarrow 81-18\left( \frac{{z}_{0}+\bar{{z}_{0}}}{2}\right)+\beta =0$
$\Leftrightarrow 81-18x+\beta =0..................(1)$
${z}_{B}\in (C)\Leftrightarrow 9-6\left( \frac{{z}_{0}-\bar{{z}_{0}}}{2i}\right)+\beta =0$
$\Leftrightarrow 9-6y+\beta =0................(2)$
بعد النقطة $M({z}_{0})$ عن محور الصادات $(x=0)$ هو : $d=\left|MB \right|=\left| \right|=Re({z}_{0})=x$
و من جهة أخرى:
${\left|{z}_{B}-{z}_{M} \right|}^{2}={x}^{2}$
$\Leftrightarrow {x}^{2}+{(3-y)}^{2}={x}^{2}\Leftrightarrow y=3$
إذا مركز الدائرة: ${z}_{0}=5+3i$ و نصف قطرها: $R=\sqrt{(25+9)-9}=5$
و منه معادلة الدائرة في المستوي المركب هي:
$z\bar{z}-(5-3i)z-(5+3i)\bar{z}+9=0$
و يمكن كتابة معادلة الدائرة في المستوي الحقيقي كمايلي:
بوضع: $x=\frac{z+\bar{z}}{2}$ و $y=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ نجد: ${(x-5)}^{2}+{(y-3)}^{2}=25$
الحالة العامة
بنفس الطريقة السابقة نجد مركز الدائرة هو العدد المركب: ${z}_{0}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2a}+ib$ و $\beta ={b}^{2}$ و نصف قطر الدائرة: $R=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2a}$ مع: $a\neq 0$ .

12-03-2009, 12:15 AM

المركز (س ، 3) ، نق = س
المسافة بين النقطتين (9 ،0) ، ( س،3) تساوي س

س = ( (9-س)^2 + (0-3)^2 )^0.5

س^2 = 81 - 18 س + س^2 + 9

0 = 90 - 18 س
س = 5 ، نق = 5 ، المركز (5 ، 3)

معادلة الدائرة (س-5)^2 + (س-3 )^2 = 25


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة