مسابقة أجمل حل - س 9

13-03-2009, 10:33 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

السؤال التاسع

لتكن د(س) = أ س³ + ب س² + جـ س + د

حيث أ ، ب ، جـ ، د أعداد صحيحة

و د(0) = 3 و د(1) = 5 أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

المسألة العامة :

لتكن د(س) كثيرة حدود ذات معاملات تنتمي لمجموعة الاعداد الصحيحة
و كانت د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية

أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

ملحوظة : حل المسألة العامة ليس إجباريا

======================================
Let p(x) = ax³ + bx² +cx + d
where a ,b,c and d are integers
If p(0) = 3 and p(1) = 5
then show that
p(x) = 0 has no integral solutions

The general problem

Let p(x) be a polynomial with integral coefficients and p(0) , p(1) are odd
then show that

p(x) = 0 has no integral solutions

NB: Solving the general problem is not obligatory

من سيعطينا أجمل حل ؟

سنقوم بطرح أسئلة عبارة عن مسألة عامة يكون لها طريقة حل عامة

تطبق كل مرة و تحل بطرق كثيرة و مختلفة

الحل الصحيح لن يكون معيارا للفوز

للفوز يجب أن يكون اجمل حل : طريقة الحل أنيقة ، تحتوي على أقل عدد ممكن

من الخطوات و أقل ما يمكن من الحسابات و فيها شيء من الابتكار

الشروط

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوع لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

- يمكن لنفس المتسابق أن يضع حلول مختلفة للسؤال المطروح و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

-تنتهي مهلة وضع الحلول كل يوم جمعة الساعة السادسة مساءً بتوقيت غرينيتش حيث سيتم إغلاق الموضوع بعد ذلك

14-03-2009, 12:30 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
محاولة

14-03-2009, 04:04 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً بالأخوة الكرام

المسألة العامة :

لتكن د(س) كثيرة حدود
و كانت د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية

أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل:

بفرض أن د(س) كثيرة حدود من درجة ن>1 تحقق الشرطان
د(0) = عدد فردى
د(1) = عدد فردى
بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح

نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة ( ن-1) مثل ر(س) تحقق الشرط
د(س) = (س - م) × ر(س)

الأن
د(0) =(0 - م ) × ر(0) = عدد فردى
وهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = عدد فردى
وهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحالة الخاصة
لتكن د(س) = أ س3 + ب س2 + جـ س + د

و د(0) = 3 و د(1) = 5
أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل
بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح
نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة الثانية مثل ر(س) تحقق الشرط
د(س) = (س - م) × ر(س)

الأن
د(0) = (0- م) × ر(0) = 3 عدد فردى
وهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = 5 عدد فردى
وهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان
لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

شكرا للجميع

14-03-2009, 04:03 PM

بالفعل حلول رائعة.
ولدي حل طويل أيضا، لكنه بالفعل جميل أيضا !!

لاحظ أن $d=3, a+b+c+d = 5 \Rightarrow a+b+c = 2$ .
لكن نحن نعلم أن $5=a+b+c+d = -b/a \Rightarrow b = -5a$ و منه نجد أن $c = 2+4a$ .

1 - إذا كان $a \equiv 1 \pmod 3$ فإن $b \equiv 2\pmod 3$ و $c \equiv 0\pmod 3$ وهنا تناقض لأن $a+b+c = 2$ .

2- إذا كان $a \equiv 2 \pmod 3$ ، بنفس الطريقة سنصل إلى تناقض.

إذا: $a \equiv 0 \pmod 3$ ، ومنه $b \equiv 0\pmod 3$ و $c \equiv 2 \pmod 3$ ، بالتالي فإن أي حل للمعادلة يجب أن يقبل القسمة على 3.

لنفرض أن $\frac{\alpha}{\beta}$ حل للمعادلة السابقة حيث $\gcd(\alpha , \beta) = 1 , \alpha , \beta \in Z$ ، إذا يجب أن يكون $\alpha | 3 , \beta | a$ ، وحيث أن $\frac{\alpha}{\beta} \in Z$ ، بالتالي الحلول المحتملة هي $\frac{\alpha}{\beta} = 0, 1 , -1$ ، وحيث أنها كلها مرفوضة لأنها لا تقبل القسمة على 3 (أما 0 فإنه من معطى المسألة $f(0) = 3$ ).

بالتالي لا حل صحيح للمسألة.

15-03-2009, 03:19 AM

السلام عليكم و رحمة الله
هذه محاولة لربما طويلة لكنها افكار ذاتية

17-03-2009, 01:29 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

18-03-2009, 02:11 AM

السلام عليكم و رحمة الله
مرحبا بالجميع
هذه محاولة لحل المسألة العامة أرجو أن تفيدكم
لتكن ${a}_{0},{a}_{1},...,{a}_{n}$ المعاملات الصحيحة لكثيرة الحدود إذا لدينا:
$P(0)={a}_{0}$ و $P(1)={a}_{0}+{a}_{1}+...+{a}_{n}$
نفرض أن $k$ حل صحيح لكثيرة الحدود أي $P(k)=0$
و هنا نناقش حالتين:
1/ إذا كان $k$ زوجي أي: $k=2m$ فإن:
$P(2m)={a}_{0}+2m({a}_{1}+...+{(2m)}^{n-1}{a}_{n})$
أي:
$P(2m)=P(0)+2m\alpha \Rightarrow P(2m)\equiv P(0)\left[2 \right]$
و هذا يناقض الفرض كون $k=2m$ جذر صحيح لكثيرة الحدود,
2/ إذا كان $k$ فردي أي: $k=2m+1$ فإن:
$P(2m+1)=P(1)+2m\beta \Rightarrow P(2m+1)\equiv P(1)\left[2 \right]$
و هذا يناقض الفرض كون $k=2m+1$ جذر صحيح لكثيرة الحدود السابقة.
في كلا الحالتين نجد أن كثيرة الحدود لا تقبل جذور صحيحة.

19-03-2009, 04:43 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

يعتمد البرهان السابق للحل العام والخاص
المطروح فى مشاركتى الأولى على الحقائق الأتية
1- إذا كانت لدينا كثيرة حدود مثل د (س) من الدرجة ن >0
ذات معاملات صحيحة نستنتج أنه
لأى عدد صحيح مثل م فإن د (م) هى أيضاً عدد صحيح

2- وإذا كان (س- م) عامل للدالة د (س) حيث م عدد صحيح
فإننا يمكن إيجاد كثيرة حدود من الدرجة (ن - 1) مثل ر(س) ذات معاملات صحيحة أيضاً بحيث
د(س) = ( س - م ) × ر(س) ..........(1)
ولإثبات ذلك
بفرض أن
مصفوفة المعاملات د(س) هى:
( أ_ن , أ_ن-1 , ... , أ₁ , أ₀) جميعها أعداد صحيحة
مصفوفة المعاملات ر(س) هى:
(ب_ن-1 ,ب_ن-2 , ... , ب₁ , ب₀)
وبفك الطرف الأيسر فى (1) ومقارنة المعاملات نجد أن
أ_ن = ب_ن-1
وهذا يقتضى أن ب_ن-1 عدد صحيح

أ_ن-1 = - م × ب_ن-1+ ب_ن-2
وهذا يقتضى أن ب_ن-2 عدد صحيح
وهكذا
.....................
...................

أ₀= - م × ب₀
وهذا يقتضى أن ب₀ عدد صحيح
فتكون ر(س) هى أيضاً كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة ويكون
لأى عدد صحيح مثل م فإن ر(م) هى أيضاً عدد صحيح

الحل العام
د(0) =(0 - م ) × ر(0) = عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

والحل الخاص
الأن
د(0) = (0- م) × ر(0) = 3 عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = 5 عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان
لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

19-03-2009, 08:34 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مرحباً بالأخوة الكرام
هذه صورة منقحة للحل ومضاف إليها بعض التوضيحات اللازمة باللون الأحمر لتعم الفائدة

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة استاذ الرياضيات [ مشاهدة المشاركة ]

المسألة العامة :

لتكن د(س) كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة
و كانت د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية

أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل:

بفرض أن د(س) كثيرة حدود من درجة ن>1 ذات معاملات صحيحة تحقق الشرطان د(0) و د(1) مساويتان لأعداد فردية
ملاحظة 1:( ن>1 خروجاً من الخلاف هل الدالة الثابتة كثيرة حدود أم لا )

بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح
نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة ( ن-1) مثل ر(س) تحقق الشرط

د(س) = (س - م) × ر(س) ......(1)

ملاحظة 2: بالنظر فى المتطابقة (1) فى حالة س عدد صحيح فإن د(س) عدد صحيح والعامل ( س - م) عدد صحيح
وهذا يقتضى أن ر(س) عدد صحيح أيضاً
الأن
بالتعويض فى (1) عن س = 0
د(0) =(0 - م ) × ر(0) = عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
بالتعويض فى (1) عن س = 1

د(1) = (1- م) × ر(1) = عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحالة الخاصة
لتكن د(س) = أ س3 + ب س2 + جـ س + د كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة حيث د(0) = 3 و د(1) = 5
أثبت أن د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

الحل
بفرض أن د(م) = صفر حيث م عدد صحيح
نستنتج أن (س - م) عامل من عوامل د(س)
إذاً يوجد كثيرة حدود من درجة الثانية مثل ر(س) تحقق الشرط
د(س) = (س - م) × ر(س) ......(2)
بالنظر فى المتطابقة (2) فى حالة س عدد صحيح فإن د(س) عدد صحيح والعامل ( س - م) عدد صحيح
وهذا يقتضى أن ر(س) عدد صحيح أيضاً

الأن
د(0) = (0- م) × ر(0) = 3 عدد فردى وحيث أن ر(0) عدد صحيحفهذا يقتضى أن ( م) عدد فردى ....(1)
د(1) = (1- م) × ر(1) = 5 عدد فردى وحيث أن ر(1) عدد صحيح
فهذا يقتضى أن (1- م) عدد فردى .... (2)
والنتيجتان متناقضتان
لأنه إذا كان (م) عدد فردى فإن ( 1-م) يجب أن تكون زوجية
وهذا التناقض يقتضى نقض الفرض أن (م) عدد صحيح
أى أن
د(س) = صفر ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الصحيحة

شكرا للجميع


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة