من أوليمبياد أمريكى:ظا7س- جا6س= جتا4س- ظتا7س

20-08-2007, 03:23 PM

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
هذا التمرين وجدته فى الأولمبياد الأمريكى 2007
بالفعل جميــــــــــــــــل

حل المعادلة :

tan7x - sin6x = cos4x - cot7x

20-08-2007, 07:39 PM

الحين يدخل احد العباقرة ويحل المعادلة الصعبة

21-08-2007, 12:51 AM

هي فعلا جميلة و لكن لا تحتاج لعبقرية :

tan7x - sin6x = cos4x - cot7x

$\frac{sin7x}{cos7x} - sin6x = cos4x - \frac{cos7x}{sin7x}$

$\frac{sin7x}{cos7x} + \frac{cos7x}{sin7x} = sin6x + cos4x$

$\frac{sin^2 7x + cos^2 7x}{cos7xsin7x} = sin6x + cos4x$

بما أن :

sin² 7x + cos² 7x = 1

sin14x = 2sin7x cos7x

$\frac{2}{sin14x} = sin6x + cos4x$

$sin14x(sin6x + cos4x)=2$

معروف أن : $-1\leq sinx \leq1$

و $-1\leq cosx \leq1$

الآن لتكون العبارة صحيحة ، يجب أن يتحقق :

sin6x = sin14x = cos4x = 1

أو sin6x = sin14x = cos4x =- 1

الحالة الاولى :

cos4x = 1 = cos0

$4x = 0 + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{k\pi}{2}$

لأن $0\prec x\prec 2\pi$

$x = \left[ 0,\frac{\pi}{2} , \pi , \frac{3\pi}{2}\right]$

و لكن لكل هذه القيم الأجزاء الاخرى من المعادلة لا تتحقق :

$sin14x = sin6x=0 \neq 1$

الحالة الثانية :

cos4x = -1

$x\in\left[\frac{\pi}{4} ,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right]$

الثانية و الرابعة لا يحققان sin14x = sin6x = -1 ، إذ انهما يساويان = 1

الأولى و الثالثة يحققان sin14x = sin6x = -1

إذن الحلول الوحيدة هي :

$x= \frac{\pi}{4} , x = \frac{5\pi}{4}$

21-08-2007, 03:03 AM

شكراً لك أستاذ uaemath
الابن يوسف شكراً لمرورك

22-08-2007, 11:44 AM

ماشاء الله حل عبقري+_^

15-05-2009, 02:19 PM

مشكور على هذا المجهود الرائع و المفيد

15-05-2009, 04:42 PM

السؤال مش مفهوم ما هو المطلوب ؟
هل هو حل المعادلة ام المطلوب اثبات متطابقة
الصورة غير ظاهرة
ارجو التوضيح


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة