من مسائل الجبر

17-05-2009, 10:48 PM

بالفعل مسألة جميلة للأخ كوشي:

ليكن

$S_n = \sum_{k=0}^{3n} \binom{3n}{k} \qquad T_n = \sum_{k=0}^{n}\binom{3n}{3k}$

حيث $n=1,2,3,\ldots$ ، برهن أن

$|S_n - 3T_n| = 2$

18-05-2009, 10:19 PM

هذه رائعة من الروائع، وتحتاج أن نخصص لها بعض الوقت، بالتوفيق.

22-05-2009, 12:06 AM

المسالة ليست بالسهلة، نفرض أن:

$F(x) = (1+x)^{3n} = \sum_{k=0}^{3n}\binom{3n}{k}x^k$

بالتالي:

$(1+1)^{3n} = F(1) = \sum_{k=0, k\equiv 0}^{3n}\binom{3n}{k} + \sum_{k=0, k\equiv 1}^{3n}\binom{3n}{k}+\sum_{k=0, k\equiv 2}^{3n}\binom{3n}{k} \qquad \qquad (1)$

بافتراض أن $\omega , \omega ^2$ جذرا الواحد التكعيبيان:

$(1+\omega)^{3n} = F(\omega) = \sum_{k=0, k\equiv 0}^{3n}\binom{3n}{k} + \sum_{k=0, k\equiv 1}^{3n}\binom{3n}{k}\omega+\sum_{k=0, k\equiv 2}^{3n}\binom{3n}{k}\omega^2 \qquad \qquad (2)$

وأيضا:

$(1+\omega^2)^{3n} = F(\omega^2) = \sum_{k=0, k\equiv 0}^{3n}\binom{3n}{k} + \sum_{k=0, k\equiv 1}^{3n}\binom{3n}{k}\omega^2+\sum_{k=0, k\equiv 2}^{3n}\binom{3n}{k}\omega \qquad \qquad (3)$

بجمع (1) ، (2) ، (3) : (لاحظ أن $1 + \omega + \omega ^2 = 0$ )

$2^{3n} + 2(-1)^n = 3\sum_{k=0, k\equiv 0}^{3n} \binom{3n}{k} = 3\sum_{k=0}^n\binom{3n}{3k} \qquad \qquad (4)$

ولكننا نعلم أن :

$\sum_{k=0}^{3n}\binom{3n}{k} = 2^{3n} \qquad \qquad (5)$

من (4) ، (5) نجد أن:

$|S_n - 3T_n| = |2^{3n} - (2^{3n} + 2(-1)^n)| = |2(-1)^n| = 2$

وهو المطلوب.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة