n معادلة

25-05-2009, 02:23 PM

أوجد حلول المعادلة

$x_{1}(6-x_{2})=9,\quad x_{2}(6-x_{3})=9,\quad\ldots\quad ,x_{n}(6-x_{1})=9$

حيث n عدد صحيح أكبر أو يساوي 2، $x_1, \ldots , x_n \in \mathbb{R}^+$ .

02-06-2009, 02:15 PM

إن هدا النوع من التمارين مفضل لدي
نضع $X_i=x_i-3\ \ \forall {i} \in \ {1,2,\cdots,n\}$
إدن $x_i=3+X_i$ et $6-x_i=6-X_i-3=3-Xi \ \ \forall { i} \in \{1,2,\cdots,n\}$
ومنه فإن المعادلات تكتب على الشكل التالي
$(3+X_1)(3-X_2)=9$
$(3+X_2)(3-X_3)=9$
$(3+X_3)(3-X_4)=9$
...
$(3+X_{n-1})(3-X_n)=9$
$(3+X_n)(3-X_1)=9$
من $(3+X_k)(3-X_{k+1})=9$ نستنتج أن $X_{k+1}=3-\frac{9}{3+X_k}=\frac{3X_k}{3+X_k}$
و من هدا المنطلق نستنتج
$X_2=\frac{3X_1}{3+X_1}$

$X_3=\frac{3X_2}{3+X_2}=\frac{3\frac{3X_1}{3+X_1}}{3+\frac{3X_1}{3+X_1}}=\frac{9X_1}{9+6X_1}=\frac{3X_1}{3+2X_1}$
ومنه $X_{1}=\frac{3X_1}{3+nX_1}$
$X_1=0$
أي $X_2=X_3=\cdots =X_n=0$
وأخيرا الحل الوحيد هو $x_i=3 \ \ \forall i$

لقد أخد مني الكتابة باللاتيك ساعة ونصف تقريبا

07-06-2009, 10:43 AM

أشكرك أخي زهير على هذا الحل الرائع. هناك أيضا حل آخر يعتمد على متفاوتة الوسط الحسابي و الوسط الهندسي.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة