السلام عليكم
منذ أيام وضعت هذه المسألة في باب حساب المثلثات و لم أجد مجيباً
لذا سؤتيح الفرصة مرة أخرى للعمل بها
وسأعرض حلها غداً إن شاء الله إن طلب مني ذلك و لم يستطع أحد الاثبات
المسألة : أثبت أن مساحة أي شكل رباعي ( محدب ) تساوي نصف جداء قطريه في جيب الزاوية بينهما
جيب: (أي sin ) أو ( جا )
محدب : أي لا تتقعر زواياه إلى داخله

 

 

بفرض الشكل الرباعي المحدب (أ ب جـ د) تقاطع قطراه في (م)

مساحة الشكل الرباعي = مساحة المثلث (أ م ب) + مساحة المثلث (ب م جـ) + مساحة المثلث (جـ م د) + مساحة المثلث (د م أ)

الزوايا الأربع عند م لها نفس الجيب لأنها ...

مساحة الشكل الرباعي = 0.5 جا(أ م ب)(أ م × ب م + ب م × م جـ + م جـ × م د + م د × أ م)

................................ = 0.5 جا(أ م ب)[أ م (ب م + م د) + م جـ (ب م + م د)]

................................ = 0.5 جا(أ م ب)(أ م + م جـ)(ب م + م د)

................................ = 0.5(أ جـ × ب د) جا(أ م ب)

 

 

هذه المسألة هي نتيجة للنظرية:

في أي مثلث أ ب ج ، نفرض أن النقطة د تنتمي للضلع المقابل للرأس أ. بالتالي لتكن س قياس الزاوية التي يصنعها الضلع أ د مع ب ج ، مساحة المثلث أ ب ج = نصف × أ د × ب ج × جا س