ورد في مداخلتي عن الصفر كلام عن مجموعتي الأعداد الطبيعة والأعداد الكلية هو :

الأعداد الكلية (الأعداد التي تـٌستعمل للعد وهي لا تتضمن الصفر) والأعداد الطبيعية (الأعداد الكلية مضافا إليها الصفر).

أود تصحيح ما ورد أعلاه، فالحقيقة أن الأعداد الطبيعية لا تتضمّن الصفر بينما تتضمّن الأعداد الكلية الصفر. أود أن أشير هنا إلى أن هذا التفريق ليس معتمدا في جميع بلاد العالم، فالفرنسيون، مثلا، لا يفرّقون بين الأعداد الكلية والأعداد الطبيعية ويُسمّون كل عدد صحيح غير سالب، بما فيه الصفر، عددا طبيعيا.

معذرة للخطأ الوارد وآمل التصحيح.

تحياتي للجميع

 

 

الموضوع الثالث يتعلّق بالكسور وتدرّج إدخالها. هناك اختلافات في الأمر من منهاج إلى آخر. السؤال الأول الذي يُطرح هو : ابتداء من أي صف يتم إدخال الكسور وكيف. ففي لبنان مثلا ينتظر التلميذ الصف الثالث للتعرّف على الكسور وهو يتعرّف الكسور من النوع 1\ن دفعة واحدة. وفي السعودية يتعرّف التلميذ الكسور ابتداء من الصف الثاني وهو يتعرّف دفعة واحدة كسور الوحدة التي مقاماتها أصغر من 10 ويكتبها ويقارن بينها. وفي مناهج عدد من دول الخليج، يتعرّف التلميذ النصف والربع في الصف الأول ويعود إليهما في الصف الثاني مضيفا إلى ذلك تعرّف الثلث والثلثين والثلاثة أرباع.

من ناحية أخرى، يتعرّف التلميذ اللبناني الكسور المتكافئة في الصف الخامس بينما يتعرّفها التلميذ السعودي في الصف الرابع. أما العمليات على الكسور، فيبدأ التلميذ اللبناني جمع الكسور المتساوية المقامات وطرحها في الصف الرابع وجمع الكسور وطرحها في الصف الخامس وضرب الكسور وقسمتها ابتداء من الصف السادس، بينما يبدأ التلميذ السعودي جمع الكسور وطرحها في الصف الرابع ويضرب الكسور ويقسمها ابتداء من الصف الخامس.
أما المناهج الأمريكية فتختلف في إدخال الكسور إذ أن بعضها يبدأ ذلك من الصف الأول بينما يبدأ البعض الآخر في إدخالها ابتداء من الصف الثاني وحتى ابتداء من الصف الثالث (مثلا : منهاج ولاية نيويورك).

يُعتبر مفهوم الكسر من بين المفاهيم الأكثر صعوبة بالنسبة للتلاميذ من ناحية الفهم ومن ناحية الاشتغال به : مقارنة للكسور واكتشاف تساويها (أو تكافؤها) وإجراء للعمليات عليها. وإذا بدت بعض الكسور، مثل النصف والربع وبدرجة أقل الثلث والثلثان والثلاثة أرباع، مألوفة للتلميذ، فإن الكسور الأخرى، وخاصة تلك التي يكون بسطها أكبر من مقامها، تبدو أقل إلفة.

من هنا ضرورة الانتباه في إدخال الكسور فلا نحاول إدخال مفهوم الكسر، بما فيها كسر الوحدة، دفعة واحدة بل نتدرّج بإدخال الكسور انطلاقا مما يألفه التلميذ منها. فالولد يأتي إلى المدرسة في الصف الأول وهو يحمل معه مفهوما، غير واضح المعالم، للنصف والربع وربما الثلث. فـلـْـنـَبـْنِ على ذلك ونقتصر في الصف الأول على تحديد معالم مفهومه لكل من النصف والربع. فالتلميذ لا يُفرّق كثيرا بين نصف الورقة مثلا وبين جزئها. فلو أعطيته ورقة مستطيلة وطلبت منه أن يُعطيك نصفها بالقص فهو سوف يقص الورقة بشكل تقريبي دون التحقق من أن الجزئين الناتجين عن القص يتطابقان بوضع أحدهما فوق الآخر. لذا كان من المهم التركيز في الصف الأول على تحديد معالم النصف والربع في ذهن التلميذ بالتركيز على ضرورة التحقق من صحة التجزئة عبر التأكد من تطابق الأجزاء الناتجة عن التجزئة.

متى يتم إدخال كتابة الكسور ؟ هل يُساعد إدخال كتابة كل من النصف والربع ومن ثم، في الصف الأعلى، كتابة الثلث والثلثين والثلاثة أرباع على تركيز مفهوم هذه الكسور في ذهن التلميذ أم أنها تـُشكل تعقيدا يصعب عليه التعامل معه باعتبار أن كتابة الكسر تـُشكل كلا واحدا يتألف من عددين ؟ في اعتقادي أن استعمال رمز النصف بالتزامن مع تعوّد التلميذ على التحقق من تطابق النصفين يساعده على فهم رمز النصف باعتباره يُمثل جزءا واحدا من جزئين متطابقين نجما عن تقسيم الوحدة.

يُشكل مفهوم الكسور المتساوية أو المتكافئة أول مرة يواجه فيها التلميذ وضعا يتم فيه التعبير عن الكمية نفسها برمزين مختلفين. واستيعاب هذا الأمر ليس سهلا بالنسبة للتلميذ. هنا يلعب الملموس دورا مهما في تقريب الأمر للتلميذ. فتجميع ربعين والتأكد من أن هذا التجميع يُنتج نصفا يُشكل مدخلا لمفهوم الكسور المتساوية أو المتكافئة.

متى يتم إدخال جمع الكسور وطرحها ؟ لا شك في ضرورة إدخال جمع الكسور وطرحها على مدى صفين متتاليين فيتم إدخال هاتين العمليتين بالنسبة للكسور المتساوية المقامات في صف وإدخال جمع الكسور المختلفة المقامات وطرحها في الصف الذي يليه. غير أن كل ذلك يتطلب يُسرا من قبل التلميذ في التعامل مع الكسور ومقارنتها.

أستنتج مما سبق الأمور التالية :

1. إدخال النصف والربع في الصف الأول.
2. إدخال الثلث والثلثين والثلاثة أرباع في الصف الثاني.
3. إدخال كسور الوحدة ومقارنتها في الصف الثالث.
4. إدخال الكسور والكسور المتكافئة في الصف الرابع.
5. إدخال جمع الكسور المتساوية المقامات وطرحها في الصف الخامس.
6. إدخال جمع الكسور وطرحها وضربها وقسمتها في الصف السادس.

أرجو من الزملاء معلمي الرياضيات في الصفوف الابتدائية، من الأول إلى السادس، الكتابة عن تجربتهم في تعليم الكسور للتلاميذ مما يُلقي ضوءا على الموضوع ويساعد في إغناء النقاش وتصويب الخلاصات.

 

 

قبل البدء بموضوع جديد، أود أن أبدي أسفي لقلة الردود والمداخلات وخاصة من قبل الذين يمارسون تدريس الرياضيات. آمل أن يتغيّر الأمر في المستقبل.

الموضوع الرابع، يتعلّق بالهندسة. تتفق مناهج الرياضيات على تعليم الهندسة المستوية (ذات البعدين) والهندسة الفضائية (ذات الأبعاد الثلاثة). غير أنها تختلف في أمور كثيرة وخاصة في المدى الذي تصل إليه في كل باب من أبوابها.
هناك مسألة يجب التوقف عندها : هل علينا تعليم التلاميذ الهندسة المستوية ثم الهندسة الفضائية أم العكس أم الاثنين معا ؟ للإجابة على هذا السؤال، علينا أن نتذكر أن الهندسة التي يتعلمها تلاميذنا ما هي إلا دراسة نموذج رياضي للعالم الذي يُحيط بنا كما أن علينا أن نحرص على الأخذ بيد التلميذ لجعله ينتقل خطوة خطوة من الملموس إلى المرسوم إلى المجرد. الملموس بالنسبة للولد في الصفوف الأولى هو ما يلمسه بيده وما يشاهده بأم عينه. من ناحية أخرى، علينا أن لا ننسى أن الولد هو بطبيعته ثلاثي الأبعاد وفقا لما يعيشه ولما يُحيط به. كل ذلك يجعلنا نستنتج أن مقاربات التلميذ الأولى للهندسة لا يُمكن لها إلا أن تكون ثلاثية الأبعاد فيبدأ بالتعرّف على الأجسام الهندسية الأساسية والتي تـُشكل نماذج رياضية لما يراه يوميا حوله. فيتعرّف الكرة (كرة القدم) والمكعب وشبه المكعب أو متوازي المستطيلات (العلب الكرتونية والصناديق) والهرم (بعض علب العصير) والاسطوانة (علب المرطبات) ... ويميزها عن بعضها بالمقارنة بين أشكالها وبعض خصائصها (القابلية للسحب أو الدحرجة أو التكديس). على أنه يجب الانتباه إلى التدرج في إدخال هذه الأجسام الهندسية حتى يتسنى للولد استيعاب هذه المفاهيم الجديدة كما يجب الحرص على عدم تعريض الولد في البداية إلى إمكانية الخلط بين الأجسام الهندسية. فإدخال المكعب وشبه المكعب معا يعرّض التلميذ للارتباك وعدم القدرة عن التفريق بين الجسمين.
بعد نجاح الولد في التعرف على بعض الأجسام الهندسية الأساسية في الصف الأول وعلى بعضها الآخر في الصف الثاني، يُمكن تعريفه على مكونات هذه الأجسام من وجوه وأضلاع ورؤوس (وأنا أميل لاستعمال كلمة ضلع بدلا عن كلمة حد أو حرف تسهيلا للأمر على التلميذ إذا أنه لا يفهم لماذا عليه أن يستعمل كلمة ضلع عندما يتعلق الأمر بمثلث أو رباعي أو مضلع وأن يستعمل كلمة حد أو حرف عندما يتعلق الأمر بمكعب أو شبه مكعب أو هرم).

يتم الانتقال إلى الهندسة المستوية انطلاقا من وجوه بعض الأجسام الهندسية (فالمربع هو الشكل الهندسي الذي يراه التلميذ على وجوه المكعب والدائرة هي الشكل الهندسي الذي يراه التلميذ على وجهي الاسطوانة والمثلث هو الشكل الهندسي الذي يراه التلميذ على وجوه الهرم). لا يجب أن يغيب عن بالنا أن مفهوم الشكل الهندسي (الثنائي الأبعاد) هو مفهوم مجرد لأن ما نقدمه للتلميذ من أدوات لتمثيل هذا الشكل (مربع أو دائرة أو مثلث) ما هو في الحقيقة إلا وجه من وجوه مكعب أو اسطوانة أو هرم. بعد تعريف التلميذ على الأشكال الهندسية الأساسية، يتم الانتقال إلى تمييز عناصرها من رؤوس وأضلاع. وكم أتمنى لو أن الزملاء معلمي الرياضيات في الصفوف الأولى يكتبون عن تجاربهم في تعليم الهندسة لتلاميذ هذه الصفوف.

هناك من يعتقد أن على دراسة الهندسة أن تتدرج وفقا لعدد الأبعاد بحيث يبدأ التلميذ تعلم الهندسة الخطية (ذات البعد الواحد) أو هندسة المستقيم ثم يدرس الهندسة المستوية (ذات البعدين) ثم الهندسة الفضائية (ذات الأبعاد الثلاثة). ينم هذا التوجه في تعليم الهندسة عن نظرة في تعليم الرياضيات لا ترى إلا المنطق الداخلي لهذا العلم بعيدا عن التجريب للوصول إلى المفاهيم والحقائق الرياضية. وقد جلب هذا التوجه، والذي قاده الفرنسيون في الستينات من القرن العشرين، الويلات في تعليم الرياضيات. ووصل الأمر بهم إلى تعليم التلاميذ بناء الهندسة الإقليدية انطلاقا من مصادرات (أو مسلمات أو أكسيومات) إقليدس بحيث يتم الوصول إلى المبرهنات (Theorems) بالبرهان المنطقي. هذا وقد دامت مرحلة التخلص من النتائج الكارثية لهذا التوجه، في فرنسا، ما لا يقل عن عشرين عاما.

طرحت تجربة الفرنسيين سؤالا أساسيا يتعلّق بالتجريب في الرياضيات أو الرياضيات التجريبية وموقع البرهان في تعليم الرياضيات. سوف أتطرق إلى هذا الموضوع في مداخلة مقبلة.

 

 

يقول المثل اللبناني "ما لم تتعب به الأيادي، لن تحزن عليه القلوب". بمعنى آخر، لن يحرص الإنسان على ما حصل عليه بدون جهد بذله. ولعل الفكرة التي تكمن في هذا المثل الشعبي هي التي دفعت المختصين في التربية والتعليم، وبشكل خاص تعليم الرياضيات، إلى التوصل لمبدأ تعتمده اليوم أكثرية النظريات التربوية في تعليم الرياضيات ألا وهو دفع المتعلم إلى أن يبني بنفسه معارفه ومهاراته في الرياضيات عبر جعله محور العملية التعليمية.

ما يعنيه هذا المبدأ ؟ إنه يعني، وبكل بساطة، وضع التلميذ في موقع عالم الرياضيات الذي لا يختلف في الحقيقة عن موقع العالم الفيزيائي. فهو يُميّز مسألة يحاول حلها فيدرسها في حالات خاصة مختلفة ثم يصوغ، بالحدس، مقولات بشأنها ثم يتحقق من صحة مقولاته بالتجريب حتى إذا ما كانت نتائج التجريب مقنعة، حاول أن يبرهن صحة مقولاته باستعمال المنطق. وهكذا نرى أن مرحلة البرهان في بناء المعرفة الرياضية تأتي في المؤخرة ولا تـُشكل إلا نسبة مئوية محدودة من النشاط الذي يبني معارف الرياضيات. وهي تهدف في الحقيقة، كما قال جاك هادامارد (Jacques Hadamard) أحد أهم علماء الرياضيات في النصف الأول من القرن العشرين، إلى قوننة وشرعنة النتائج التي توصل إليها عالم الرياضيات. وقد شرح كارل فرديريك غوس
(Carl Frederich Gauss)، أهم علماء الرياضيات في القرن التاسع عشر، أنه كان يتوصل إلى الحقائق الرياضية عبر التجريب النظامي وأنه توصل بهذه الطريقة إلى اكتشاف أن عدد الأعداد الأولية التي تقل عن n يساوي تقريبا وهي نتيجة تمت البرهنة على صحتها بعد قرن من ذلك.

فإذا كان ما سبق صحيحا، فإن التجربة والاختبار يلعبان دورا مهما في بناء المعرفة الرياضية للتلميذ. وهذا يتطلب بدوره، كما طالب بذلك أميل بوريل (Emile Borel) أحد أهم علماء الرياضيات الفرنسيين سنة 1904، إنشاء مختبرات للرياضيات في المدارس تماما كما هي الحال بالنسبة لمختبرات العلوم. كما أن كورت غوديل (Kurt Gödel)، أحد أهم علماء المنطق الرياضي في القرن العشرين، كتب يقول "إذا كانت الرياضيات تصف العالم الملموس كما تفعل الفيزياء، فلا سبب يٌبرر عدم تطبيق الطرائق الاستقرائية في الرياضيات كما هو الحال في الفيزياء".

إن للتجريب وظيفة تربوية يُمكن للتلاميذ أن يستفيدوا منها. فاستعمال الكرات الزجاجية يساعد التلميذ على تكوين صورة دقيقة لعالم الأعداد الكلية. ويساعده استعمال المكعبات المترابطة على تكوين صورة بصرية للنظام العشري ولعمليات الجمع مع تجميع أو بدونه وعمليات الطرح مع تفكيك أو بدونه. كما أن استعمال الورق والكرتون والمقص يؤمن للتلميذ إدراكا عميقا لما تمثله الأشكال والأجسام الهندسية والأطوال والمساحات والحجوم.

ويلعب الحاسوب دورا مهما في مختبر الرياضيات هذا. فهو يوفر للتلميذ، عبر العمل مع برمجيات الهندسة التفاعلية، إمكانية اكتشاف العديد من حقائق الرياضيات بطريقة الحدس والتجريب. إذ أن هذه البرمجيات توفر للتلميذ إمكانية دراسة أمر ما في حالات مختلفة من دون أي عناء. لنأخذ مثالا على ذلك : تلاقي ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة. يبدأ التلميذ برسم مثلث على الشاشة. يرسم ارتفاعين من ارتفاعات المثلث ثم يرسم نقطة تقاطعهما. يرسم بعد ذلك الارتفاع الثالث ويلاحظ أنه يمر في نقطة تقاطع الارتفاعين الأولين. لكي يدرس التلميذ هذا الأمر في حالات مختلفة، ما عليه إلا تحريك رؤوس المثلث باستعمال الفأرة (أو الماوس) فيحصل على عدد كبير من الحالات في أقل من دقيقة. لو أراد التلميذ القيام بالتجربة من دون استعمال الحاسوب، لكان عليه أن يرسم مثلثات مختلفة وأن يتحقق من أن الارتفاعات تلتقي دوما في نقطة واحدة مع احتمال أن لا تلتقي هذه الارتفاعات في إحدى الحالات نتيجة لنقص في دقة الرسم مما يضع التلميذ والمعلم في موقف حرج.

(أنظر الصورة في الملفات المرفقة)

مثال آخر : طرح المعلم المسألة التالية : "أرسم مثلثا ABC قائما عند الرأس A وارسم نقطة P على قطره BC. أرسم القطعة المستقيمة PI المتعامدة مع الضلع AB (I على الضلع AB) والقطعة المستقيمة PJ المتعامدة مع الضلع AC (J على الضلع AC). عندما تتحرك النقطة P على القطر BC يتغيّر طول القطعة المستقيمة IJ. في أي موقع يجب على النقطة P أن تكون لكي يأخذ طول القطعة المستقيمة IJ قيمته الصغرى ؟"

(أنظر الصورة في الملفات المرفقة)


يقوم التلميذ بإنشاء الرسم المـُبيّـن أعلاه وحساب طول القطعة المستقيمة IJ باستعمال برمجية الهندسة التفاعلية. للوصول إلى الحل، ما عليه إلا تحريك النقطة P إلى مواقع مختلفة ومراقبة تغيّر طول القطعة المستقيمة توصلا لتحديد الموقع المطلوب.

لو لم يوجد الحاسوب لكان على التلميذ، إذا ما أراد أن يدرس الموضوع في حالات مختلفة، أن يرسم المثلث وأن يضع النقطة P في عدة مواقع كما تبيّن الصورة أدناه ذلك. وكان عليه أن يقيس طول القطعة المستقيمة IJ في كل مرة حتى يتوصل بالحدس إلى الموقع المطلوب.


بلإضافة إلى ما سبق، يوفر الحاسوب للتلميذ إمكانية محاكاة التجارب العشوائية عشرات المرات في فترة زمنية قصيرة بما يسمح باستنتاجات يصعب الوصول إليها يدويا. مثال على ذلك، عند دراسة العلاقة بين الاحتمال النظري والاحتمال التجريبي والعلاقة بينهما وكيف أن الاحتمال التجريبي يقترب أكثر فأكثر من الاحتمال النظري كلما زاد عدد التجارب العشوائية، فإن الحاسوب يُمكن التلميذ من محاكاة التجربة العشوائية مئات المرات في فترة زمنية قصيرة. يحتوي الملف المرفق 2DicesProbability.xls (في الملفات المرفقة) على نشاط لحساب احتمال الحصول على مجموع معيّن عند رمي مكعبي أعداد وذلك بطريقة التجريب ومقارنة ذلك مع الاحتمال النظري للحصول على هذا المجموع. أهمية هذا النشاط أنه يسمح بمحاكاة رمي المكعبين 100 مرة بمجرد نقرة واحدة بالفأرة.

أعود الآن إلى السؤال الأساسي : ما موقع البرهان في تعليم الرياضيات ؟ سادت على مدى عقود مديدة نظرية في تعليم الرياضيات تقول أن تعليم الرياضيات يهدف إلى تنمية التفكير المنطقي عند التلميذ والقدرة على القيام بالاستدلال الاستنتاجي لما لذلك من أثر على نمو فكره وشخصيته. كما كانت هذه النظرية تدعي أن استيعاب حقائق الرياضيات من قبل التلميذ يقتضي قيام المعلم بالبرهنة على صحتها برهانا كاملا من دون الاكتفاء بما تبيّنه الرسوم. فأن تتلاقى ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة لا يكفي وتجب البرهنة على ذلك باستعمال المنطق. وكم معلما سمع تلاميذه يقولون له "علام تـُتعب نفسك يا أستاذ ؟ إنها تتلاقى في نقطة واحدة. أنظر." ووصل الأمر بهذا التوجه إلى ذروته مع اندفاع مجموعة بورباكي (Boubaki) من علماء الرياضيات الفرنسيين في موجة "الرياضيات المعاصرة" في فرنسا ومن ثم في العالم، إلى حد بناء معرفة التلميذ بالهندسة الإقليدية إلى بنائها انطلاقا من مصادرات (أو أكسيومات) إقليدس واستنتاج حقائق هذه الهندسة منطقيا دون استعمال الرسومات (هناك حادثة تـُروى، في هذا المجال، عن كلود شيفاليه (Claude Chevalley)، أحد أركان مجموعة بورباكي، والذي كان يُعارض بشدة استعمال الصور في الاستدلال الهندسي. كان يُلقي محاضرة في الجبر غاية في التجريد وتوقف فجأة. بعد فترة قصيرة من التفكير، عاد إلى السبورة وحاول أن يُخفي عن الحضور ما يفعله. رسم مخططا صغيرا وتأمل فيه لحظات قبل أن يمحوه بسرعة ويعود إلى استئناف محاضرته).

كان من نتائج هذه النظرية تقسيم التلاميذ إلى قسمين : أقلية من موهوبين قادرين على تعلم الرياضيات وأكثرية من مساكين غير قادرين على ذلك. كما كان من نتائجها إهمال المهارات اليدوية التي يكتسبها التلميذ من خلال تعلم الهندسة ومهارات الحساب. ولاتعتبر هذه النظرية الرياضيات أداة توضع في يد التلميذ لفهم العالم المحيط به والتعامل معه بل ترى أنه يجب تعلم الرياضيات لذاتها. كل ذلك أدى إلى خروج أعداد هائلة من الشابات والشباب لا يملكون الحد الأدنى من ثقافة الرياضيات التي يحتاجها المواطن في هذا العصر.

أما النظريات الجديدة فهي تركز على قيام التلميذ ببناء معارفه الرياضية عبر وضعه في موقع عالم الرياضيات : يلاحظ ويدرس حالات مختلفة ثم يصوغ مقولات يتحقق من صحتها تجريبيا حتى إذا ما بدت كذلك ينتقل إلى البرهان. المهم في هذا العمل هو تعويد التلميذ على الملاحظة والحدس وعلى التجريب قبل الانطلاق إلى صياغة النتائج وهو، في كل هذه المراحل، يبرر ما يقوم به. إن الطلب دوما إلى التلميذ تبرير ما يقوم به، وخاصة كتابيا ابتداء من عمر معين، يدربه على الاستدلال استقراء واستنتاجا. على أن الأهم في الموضوع هو عدم تحويل البرهان إلى أقنوم مقدس لا يُمس.

هل يعني كل ذلك شطب البرهان من حصة الرياضيات ؟ طبعا لا. إنما ترك الأمر للمعلم وفقا لنوعية التلاميذ في الصف ومدى قدرتهم على القيام ببعض البراهين. ولا بد من تذكير المعلم أن قيامه ببرهنة حقائق رياضية على السبورة لا يؤدي إلى استيعاب التلاميذ لها وإنما وصول هؤلاء إلى هذه الحقيقة بعد البحث والتجربة هو الذي يؤدي إلى استيعابهم لها ؛ وتذكيره أيضا أن قيامه ببرهان حقائق رياضية على السبورة لا يُعلم التلاميذ البرهان.

 

 

يبدو أنني لم أنجح في تحميل الملف الذي يحوي الملفات المرفة.

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_12263183.zip

 

 

استكمالا لمداخلاتي السابقة، سوف أعرض تدريجيا مشروع منهج للرياضيات وأطرحه للنقاش آملا أن يستقطب هذا العرض مداخلات مثمرة علنا نتوصل إلى منهج موحد لتعليم الرياضيات في البلاد العربية.

أود أن أوضح أن المشروع الذي أطرحه يعتمد بشكل أساسي على المبادئ التي حددها المجلس الوطني لأساتذة الرياضيات في الولايات المتحدة NCTM وعلى مناهج الرياضيات في الولايات المتحدة الأمريكية وفي كندا. سوف تتناول مداخلتي الأولى في هذه السلسلة فلسفة منهج الرياضيات.

فلسفة منهج الرياضيات

شهدت نظريات تعليم الرياضيات تطورا كبيرا منذ أن كانت الرياضيات مادة جافة معقدة صعبة المنال لا يقدر على النجاح فيها إلا أقلية قليلة من التلاميذ أصحاب المواهب في هذا المجال. فبعد أن شكلت الرياضيات طويلا المصفاة التي تسمح بفرز التلاميذ الأذكياء القادرين على كل شئ، تتجه النظريات الجديدة في تعليم الرياضيات إلى نزع هذه الهالة عنها واعتبارها مادة مثل غيرها من مواد الدراسة يتعلمها جميع التلامذة. ولعل صرخة السياسي الفرنسي ليونيل جوسبان في الثمانينات، بعد تعيينه وزيرا للتربية، قائلا : "آن الأوان للتخلص من ديكتاتورية الرياضيات" جاءت لتعبر عن هذا التيار.

يجد هذا التوجه جذوره في حاجة الإنسان المتزايدة، في حياته اليومية، لثقافة واسعة في الرياضيات بالإضافة إلى أن النجاح في تعلم الرياضيات يسلح التلميذ بالقدرة على الترتيب والتنظيم والتفكير المنطقي والتواصل الناجح مع الآخرين. كما يسلحه بمفاهيم وأدوات ومهارات تسمح له أن يكون مواطنا فاعلا ومنتجا في مجتمع يعتمد أكثر فأكثر على التكنولوجيا ومعالجة المعلومات.

من ناحية أخرى، يغير هذا التوجه معالم منهج الرياضيات محتوى وطرائق تدريس وطرائق تقويم على حد سواء. فبعد أن كان منهج الرياضيات ينحصر في تعليم الأعداد والعمليات عليها والجبر والهندسة، فإن التوجهات الجديدة لتعليم الرياضيات :

 تفرد حيزا مهما لمعالجة المعلومات بدأ من الصف الأول وصولا إلى الصف الثاني عشر. فالقدرة على تنظيم المعطيات وتحليلها وتفسيرها تمهيدا لاتخاذ القرارات والقيام بالتوقعات تحتل اليوم حيزا كبيرا في ثقافة المواطن الفاعل والمنتج.
 وهي تفرد حيزا آخر للتعامل مع الأنماط بما هو تدريب للتلميذ على التحليل والملاحظة والتخمين والتحقق والتعميم، وكلها صفات ينبغي التحلي بها.
 وهي تفرد حيزا ثالثا للتواصل باعتبار أن القدرة على صوغ الأفكار بشكل واضح والتعبير عنها بكل سهولة تجعل من الإنسان عضوا فاعلا ومتفاعلا مع محيطه وميدان عمله.
 وهي تفرد حيزا رابعا للترابط سواء بين مختلف فروع الرياضيات، بما يعزز فكرة وحدة الرياضيات من جهة، وبين الرياضيات والعلوم الأخرى من جهة ثانية سواء منها العلوم الصحيحة أم العلوم الطبية أم العلوم الهندسية ام العلوم التكنولوجية أم العلوم الإنسانية.
 وهي أخيرا تجعل من القدرة على حل المسائل باستعمال الرياضيات واستراتيجيات الحل، جوهر تعليم الرياضيات، إذ أن هدف منهج الرياضيات الأساسي في التعليم السابق للجامعة هو تزويد التلميذ بالمفاهيم والمهارات والأدوات التي تمكنه من التعامل مع مسائل الحياة لحلها.

إن ما تقدم يجعل من تعلم الرياضيات، بمحتواه وطرائقه، أمرا في متناول جميع التلاميذ. كما أنه يؤدي إلى نظرة جديدة لهذه المادة التي طالما وصفت بأنها جافة ومغرقة في التجريد. وهذا من شأنه أن يعزز ثقة التلميذ بنفسه ويعزز تقديره للرياضيات.

أما على صعيد طرائق التعليم، فإن النظريات الجديدة لتعليم الرياضيات تنحو إلى التخلي عن الدور التقليدي لأستاذ الرياضيات مصدر المعرفة الذي لا يخطئ والقادر الوحيد على الحكم بصحة النتائج، يتلقى التلامذة المعرفة منه مستمعين ومقلدين. إن هذه النظريات تنزل الأستاذ عن عرشه وتعيده إنسانا مثل غيره يعمل مع تلامذته ويساعدهم على اكتشاف المعرفة وتنظيمها وربما يخطئ مثل أي إنسان آخر. إنها تضع التلميذ في قلب العملية التعليمية يقوم بنشاطات مناسبة تساعده على بناء معارفه بالتعاون مع رفاقه مما يدربه على فضائل اجتماعية مهمة مثل القدرة على العمل مع الآخرين بما تتضمنه من احترام الآخر واحترام رأيه وقبول الاختلاف واللجؤ إلى الحجة للإقناع.

أخيرا، تنظر النظريات الجديدة إلى عملية التقويم نظرة تختلف عن السابق. فالتقويم لم يعد يهدف إلى تقرير ما إذا كان التلميذ قد توصل إلى مستوى معين من المعارف والمهارات فقط، بل إنها ترى في التقويم عنصرا أساسيا من عناصر العملية التعليمية عبر التقويم التشخيصي و التقويم التكويني. فالتقويم لم يعد ذلك السيف المسلط على رأس التلميذ ينتظر اللحظة التي يسقط فيها على عنقه، بل أصبح عنصرا يساعد التلميذ والأستاذ على اكتشاف مواقع الضعف لمعالجتها قبل أن يتفاقم القصور وتصبح معالجتها صعبة وربما مستحيلة.

يعتمد هذا المنهج على المبادئ الموجهة والمعايير التي حددها المجلس الوطني لأساتذة الرياضيات في الولايات المتحدة NCTM. وقد حرص المنهج على أن يحترم معايير المحتوى قدر الإمكان آخذا بعين الاعتبار أوضاع البلاد العربية الاجتماعية والاقتصادية. وهو يطمح أن يحترم معايير المعالجة.

حل المسائل : يجب أن يتضمن تعليم الرياضيات فرصا لحل المسائل. وهذا يتطلب مقاربات مختلفة للبحث والإدراك وتطبيق المفاهيم الرياضية. إن تطوير قدرات التلميذ على حل المسائل أمر أساسي إذا ما أريد له أن يكون مواطنا منتجا. إننا نتبنى كاملا القول بأن "على حل المسائل أن يشكل جوهر تعليم الرياضيات في المرحلة السابقة للجامعة". على التلميذ أن يعمل على مسائل قد يتطلب حلها ساعات أو أياما وربما أسابيع إذا ما أراد أن يطور قدراته في مجال حل المسائل. بعض هذه المسائل قد يكون تمرينا سهلا يقوم التلميذ بحله إفراديا، وبعضها يتطلب العمل ضمن فريق أو حتى تعاون تلامذة الصف جميعهم، وبعضها أيضا قد يكون مفتوحا غير معروف الحل مسبقا وقد يكون له حلول عدة.

إن حل المسائل باستعمال الرياضيات يتطلب من التلميذ أن يستعمل مجموعة من الاستراتيجيات من أجل أن :

 يبحث ويستكشف ويدرك المحتوى الرياضي.
 يتعرف المسائل ويصوغها داخل الرياضيات أو خارجها.
 يستعمل النماذج الرياضية والتكنولوجيا المناسبة لحل تشكيلة واسعة من المسائل بما فيها مسائل الحياة اليومية.
 يعمم الحلول والاستراتيجيات ويطبقها في حل مسائل جديدة.
 يرسخ ثقته بالقدرة على استعمال رياضيات مفيدة وبتحوّله إلى حلال مسائل مستقل.

التواصل : يجب أن يفسح تعليم الرياضيات في المجال أمام التواصل عبر توفير الفرص للتلميذ كي يشرح ويخمن ويلخص ويدافع عن آرائه شفهيا وكتابة وعبر استعمال التكنولوجيا. إن تطوير مقدرة التلميذ على التفكير الرياضي تتطلب تعلمه إشارات الرياضيات ورموزها وتعابيرها. وأفضل وسيلة للوصول إلى ذلك تكمن في العمل على حالات تسمح للتلميذ أن يقرأ ويكتب ويناقش بحيث يصبح استعمال لغة الرياضيات لديه أمرا طبيعيا. وبقدر ما يقوم التلميذ بالتعبير عن أفكاره فإنه يتعلم أن يكون واضحا ودقيقا ومعززا لإجاباته.

يركز التواصل على تطوير استعمال التلميذ للغة الرياضيات ورموزها من أجل :

 عرض الأفكار والحالات الرياضية وإيضاحها.
 التعبير عن الأفكار والعلاقات الرياضية شفهيا وكتابة وبواسطة مواد ملموسة وصور ومخططات.
 إدراك دور الكتابة الرياضية وتقييمه إيجابيا.
 الاقتناع بأن التمثيل في الرياضيات والنقاش والإصغاء والكتابة والقراءة تشكل وجها حيويا لدراسة الرياضيات واستعمالها.
 استعمال الكتابة الرياضية لصياغة التعميمات.

الاستدلال : يجب أن يفسح تعليم الرياضيات في المجال أمام الاستدلال والتفكير المنطقي. وهذا يتطلب اتقان التفكير النقدي والحجة المنطقية كما يتطلب تبرير الحلول وعمليات التفكير والتخمينات. إن القيام بتخمينات وإظهار الأمور المفروغ منها وبناء الحجة لدعم ذلك يشكل أمرا أساسيا في الرياضيات.

إن الاستدلال يهدف إلى إيصال التلميذ إلى :

 القيام بتخمينات والتحقق منها.
 إقامة الحجج الرياضية ومتابعها والحكم على قيمتها.
 استنتاج خلاصات منطقية.
 تبرير الحلول وطرائق إيجادها.

الربط : يجب أن يفسح تعليم الرياضيات في المجال للربط بين مختلف فروع الرياضيات، وبين الرياضيات والعلوم الأخرى وبين الرياضيات وحالات الحياة اليومية. غالبا ما ينظر إلى مختلف موضوعات المنهج كما لو كانت معزولة عن بعضها. وطالما لم يتوصل التلميذ إلى الربط بين مختلف المواضيع التي يتعلمها فإنه سيتعلم مهارات معزولة بدل أن يطور قدرته على تعرف المبادئ العامة والطرائق العائدة لعدة ميادين. إن ربط إدراك المفاهيم بالطرائق سوف يمكن التلميذ من تطبيق الطرائق التي يعرفها وإيجاد طرائق جديدة حيث تدعو الحاجة. إن الفشل في ربط إدراك المفاهيم بالطرائق سوف يؤدي إلى النظر للرياضيات على أنها مجموعة قواعد. يجب أن يفسح في المجال أمام التلميذ للتأمل في علاقة الرياضيات بالعلوم الأخرى وبمسائل الحياة وفي العمل على هذه العلاقة. فالمسائل تصبح ذات معنى عندما ترتبط بتجارب التلميذ.

يركز الربط على تمكين التلميذ من :

 تقدير الرياضيات ككل مندمج رابطا المفاهيم بالطرائق داخل الرياضيات ورابطا التمثيلات المتعددة للمفاهيم والطرائق الواحدة بالأخرى.
 تطبيق التفكير الرياضي والنماذج الرياضية لحل مسائل هامة في مواد أخرى من مواد المنهج مثل الفن وإدارة الأعمال والموسيقى وعلم النفس والفنون الصناعية وتكنولوجيا المعلومات والدراسات الاجتماعية والعلوم البحتة كالفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء.
 تعرف دور الرياضيات في حياته وثقافته ومجتمعه واستعمالها وتقييمها إيجابيا.
 الإطلاع على بعض المحطات التاريخية المهمة في تطور الرياضيات.[/color]

 

 

الروضة الأولى (العمر : 4 سنوات)

الأهداف العامة

الأعداد والعمليات عليها

• يُعبّر عن فهمه للأعداد، لطرائق تمثيلها المختلفة، للعلاقات فيما بينها ولأنظمة الأعداد.
• يُدرك معاني العمليات الحسابية وطرق إجرائها والعلاقات فيما بينها.
• يحسب بدقة ويقوم بتقديرات معقولة.

الجبر

• يُمثل مروحة واسعة من حالات حل المسائل ويحللها جبريا.
• يُجري العمليات الجبرية بدقة.
• يُميّز أنماطا جبرية وعلاقات ودوال ويُمثلها ويستعملها.

الهندسة

• يستعمل التصوير والاستدلال الفضائي لتحليل مميزات وخصائص الأشكال الهندسية والأجسام الهندسية.
• يُميّز العلاقات الهندسية ويبررها.
• يستعمل التحويلات والتناظر لتحليل مسألة.
• يستعمل الهندسةالإحداثية لتحليل حالات حل المسائل.

القياس

• يُحدد ما يُمكن قياسه وكيف باستعمال طرائق وقواعد مناسبة.
• يستعمل الوحدات لإعطاء معنى للقياس.
• يُدرك أن كل عملية قياس تتضمّن أخطاء ويُحدد معنى الخطأ.
• يطوّر طرائق لتقدير القياس.

الاحتمال والإحصاء

• يجمع معطيات وينظمها ويعرضها ويحللها.
• يصوغ توقعات استنادا إلى تحليل المعطيات.
• يُدرك مفاهيم الاحتمال ويطبقها.

الأهداف الخاصة

الأعداد والعمليات عليها

يُعبّر عن فهمه للأعداد، لطرائق تمثيلها المختلفة، للعلاقات فيما بينها ولأنظمة الأعداد.

أنظمة الأعداد
1. يعد عناصر مجموعة ويعرف أن آخر عدد ذكره في العد هو عدد الأشياء التي عدها (من 1 إلى 10).
2. يُشكل مجموعة من عدد معيّن من الأشياء أعطي له (من 1 إلى 5).
3. يعد شفهيا إلى الأمام من 1 إلى 10 واحدا واحدا.
4. يستكشف التمثيلات المختلفة لمجموعة من الأشياء.
5. يرسم صورا أو يستعمل رموزا لتمثيل عدد أعطي له (حتى 5).
6. يرسم صورا أو يستعمل رموزا لتمثيل كم تتضمّن مجموعة من الأشياء.
7. يتعرّف كتابات الأعداد (حتى 5).
8. يُدرك معنى الكلمتين "الأول" و "الأخير" ويستعملهما.

• يُدرك معاني العمليات الحسابية وطرق إجرائها والعلاقات فيما بينها.

العمليات
9. يجمع عددين لا يزيد مجموعهما عن 4 باستعمال أشياء ملموسة.
10. يُجري عمليات طرح ضمن 4 باستعمال أشياء ملموسة.

الجبر

يُميّز أنماطا جبرية وعلاقات ودوال ويُمثلها ويستعملها.

الأنماط، العلاقات، الدوال
1. يُنشئ أنماطا مشابهة لأنماط أمامه باستعمال أشياء ملموسة.

الهندسة

يستعمل التصوير والاستدلال الفضائي لتحليل مميزات وخصائص الأشكال الهندسية والأجسام الهندسية.

الأشكال الهندسية والأجسام الهندسية
1. يُقارن الأشكال الهندسية والأجسام الهندسية التي لها المقاسات نفسها والوجهة نفسها ثم تلك التي تختلف في المقاسات والوجهات.
2. يستعمل أجساما هندسية في بناء مجسمات.

القياس

يُحدد ما يُمكن قياسه وكيف باستعمال طرائق وقواعد مناسبة.

وحدات القياس
1. يتعرّف كلمات مثل "أكبر"، "أطول"، "أصغر"، "أقصر" لمناقشة قياس الطول.
2. يُميّز أوقاتا معيّنة مثل الليل والنهار.

الاحتمال والإحصاء

يجمع معطيات وينظمها ويعرضها ويحللها.

تنظيم المعطيات وعرضها
1. يُنظّم الأشياء ويرتبها باستعمال صفة واحدة (مثل اللون أو المقاس أو الهيئة).
2. يستعمل أشياء ملموسة لإنشاء بيانات.

تحليل المعطيات
3. يعد مجموعات تم تكوينها ويقارن بينها.
4. يذكر صفات الأشياء.

الروضة الثانية (العمر 5 سنوات)

الأهداف العامة

الأعداد والعمليات عليها

• يُعبّر عن فهمه للأعداد، لطرائق تمثيلها المختلفة، للعلاقات فيما بينها ولأنظمة الأعداد.
• يُدرك معاني العمليات الحسابية وطرق إجرائها والعلاقات فيما بينها.
• يحسب بدقة ويقوم بتقديرات معقولة.

الجبر

• يُمثل مروحة واسعة من حالات حل المسائل ويحللها جبريا.
• يُجري العمليات الجبرية بدقة.
• يُميّز أنماطا جبرية وعلاقات ودوال ويُمثلها ويستعملها.

الهندسة

• يستعمل التصوير والاستدلال الفضائي لتحليل مميزات وخصائص الأشكال الهندسية والأجسام الهندسية.
• يُميّز العلاقات الهندسية ويبررها.
• يستعمل التحويلات والتناظر لتحليل مسألة.
• يستعمل الهندسةالإحداثية لتحليل حالات حل المسائل.

القياس

• يُحدد ما يُمكن قياسه وكيف باستعمال طرائق وقواعد مناسبة.
• يستعمل الوحدات لإعطاء معنى للقياس.
• يُدرك أن كل عملية قياس تتضمّن أخطاء ويُحدد معنى الخطأ.
• يطوّر طرائق لتقدير القياس.

الاحتمال والإحصاء

• يجمع معطيات وينظمها ويعرضها ويحللها.
• يصوغ توقعات استنادا إلى تحليل المعطيات.
• يُدرك مفاهيم الاحتمال ويطبقها.

الأهداف الخاصة

الأعداد والعمليات عليها

يُعبّر عن فهمه للأعداد، لطرائق تمثيلها المختلفة، للعلاقات فيما بينها ولأنظمة الأعداد.

أنظمة الأعداد
1. يعد عناصر مجموعة ويعرف أن آخر عدد لفظه هو عدد الأشياء في هذه المجموعة (من 1 إلى 10).
2. يُشكل مجموعة من عدد معيّن من الأشياء أعطي له (من 1 إلى 10).
3. يكتب عدد عناصر مجموعة من الأشياء (من 1 إلى 5)
4. يعد شفهيا إلى الأمام من 1 إلى 20 واحدا واحدا.
5. يعد شفهيا إلى الوراء من 10 إلى 1 واحدا واحدا.
6. يُمثل عددا لا يتجاوز 10 باستعمال الأصابع.
7. يرسم صورا أو يستعمل رموزا لتمثيل عدد مُعيّن لا يتجاوز 10.
8. يرسم صورا أو يستعمل رموزا لتمثيل عدد الأشياء في مجموعة (ضمن 10).
9. يكتب الأعداد من 1 إلى 10 للتعبير عن عدد العناصر في مجموعة.
10. يحدد بصريا كم يزيد عدد عناصر مجموعة على عدد عناصر مجموعة أخرى أو كم ينقص عنه ثم يستعمل العد الشفهي للمقارنة والعد (ضمن 10)
11. يستعمل العد الترتيبي من الأول إلى العاشر ويُدرك معناه.

يُدرك معاني العمليات الحسابية وطرق إجرائها والعلاقات فيما بينها.

العمليات
12. يحل مسائل كلامية عن الجمع والطرح ويؤلف مثلها (يستعمل الطرائق التي تعتمد العد مثل العد إلى الأمام حتى 10)
13. يجد المجموع والفرق بوسائل مختلفة.

الجبر

يُميّز أنماطا جبرية وعلاقات ودوال ويُمثلها ويستعملها.

الأنماط، العلاقات، الدوال
1. يستعمل أشياء مختلفة لإنشاء أنماط باستعمال خصائص مثل اللون أوالمقاس أوالهيئة.
2. يُميّز أنماطا تكرارية (مثل ♥♦♥♦♥♦ أو ♥♦♦♦♥♦♦♥♦) ويصفها ويُكملها ويُنشئ مثلها.

الهندسة

يستعمل التصوير والاستدلال الفضائي لتحليل مميزات وخصائص الأشكال الهندسية والأجسام الهندسية.

الأشكال الهندسية والأجسام الهندسية
1. يصف خصائص الأشياء الهندسية كما يصف العلاقات بينها.

يُميّز العلاقاات الهندسية ويبررها.

العلاقات الهندسية
2. يُرتب مجموعة من الأشياء الهندسية وفق مقاساتها صعودا ونزولا.

يستعمل التحويلات والتناظر لتحليل مسألة.

هندسة التحويلات
3. يستكشف التوجه الأفقي والتوجه العمودي للأشياء.
4. يستكشف التناظر عبر الاشتغال بأشكال هندسية وأجسام هندسية.

يستعمل الهندسةالإحداثية لتحليل حالات حل المسائل.

الهندسة الإحداثية
5. يُدرك مفاهيم مثل "فوق"، "تحت"، "أمام"، "وراء"، "على"، "بجانب"، "التالي"، "بين" ويستعملها.

القياس

يُحدد ما يُمكن قياسه وكيف باستعمال طرائق وقواعد مناسبة.

وحدات القياس
1. يستعمل خاصية الطول ويسميها ويقارن بين الأطوال (أطول من، أقصر من).
2. يقارن بين طولي شيئين عن طريق تمثيل طول كل منهما بواسطة خيط أو شريط ورقي.
3. يُميّز أوقاتا خاصة مثل الصباح والظهر وبعد الظهر والمساء ووجود ضوء النهار أو غيابه.

الاحتمال والإحصاء

يجمع معطيات وينظمها ويعرضها ويحللها.

جمع المعطيات
1. يبحث عن المعطيات للإجابة على سؤال يطرحه المعلم أو التلاميذ.

تنظيم المعطيات وعرضها
2. يساعد في إنشاء مصورة لكميات لا تزيد عن 10 حيث تـُمثل كل صورة واحدا.
3. يرتب الأشياء وينظمها وفقا لصفتين من صفاتها (مثل اللون أو المقاس أو الهيئة).
4. يُمثل معطيات باستعمال أشياء ملموسة.

تحليل المعطيات
5. يُميّز الكميات المتساوية أو التي تزيد أو تنقص انطلاقا من مصورة أو نماذج ملموسة.