مسائل في نظرية العدد - الصفحة 3

20-02-2009, 04:20 PM

السلام عليكم

وأنا أقول وين مختفي ماث صن

طلعت هنا ، هاه

----------

ودي أشارك ، بس عندي مشكلة عويصة ، الصور مو طالعة معي !!!

بس حلول المبدع أستاذنا مجدي طالعة ، ولكن أسئلتك مبهمة لأني لا أرى صور المعادلات التي تكتبها !

20-02-2009, 06:53 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة waelalghamdi [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم

وأنا أقول وين مختفي ماث صن

طلعت هنا ، هاه

----------

ودي أشارك ، بس عندي مشكلة عويصة ، الصور مو طالعة معي !!!

بس حلول المبدع أستاذنا مجدي طالعة ، ولكن أسئلتك مبهمة لأني لا أرى صور المعادلات التي تكتبها !

هلا والله بوائل العرب

والله مشكلة الصور عندي بعد.

بس يمكن تقتبس مشاركتي بعدين تحصل المسألة

.

23-02-2009, 05:48 PM

نفس المشكلة ماث صن

حتى أني اضطر لقراءة صيغة المسألة من رابط الصورة الغير ظاهرة

أتمنى أن ترفق الأسئلة على شكل صور

لأنها تبدو بحق رائعة وتستحق المتابعة

25-02-2009, 03:07 PM

المهم نجعل السؤال غير محلول (مع أنني أظنه جميل) وننتقل للسؤال الذي يليه

المسألة 9:

ليكن $p_1,p_2, \cdots p_n$ أعداد أولية مختلفة حيث $n$ عدد صحيح موجب، هل يمكن أن يكون المقدار :

$\frac 1{p_1} + \frac 1{p_2} + \cdots + \frac 1{p_n}$

عددا صحيحا ؟؟

علل إجابتك.

26-02-2009, 11:34 PM

المسألة 10 وبإذن الله سهلة.

01-03-2009, 08:52 PM

المسألة (11):

أفرض أن ص عدد صحيح. أوجد الحلول الصحيحة الموجبة للعدد س حيث:

س^2 + 300 س + 9950 = 33ص^2

02-03-2009, 11:59 AM

هذي محاولة بسيطة :

Find all integers $x,y$ satisfying

$x^2 + 300x + 9950 = 33y^2$

Solution

Take both sides given in the problem statement modulo 33

$x^2 + 3x + 17 \equiv{0} \pmod{33}$

but this last congruence is insolvable for all integers $x$ , to see this we could plug in values from $\lbrace 0,1,2,...,32 \rbrace$ for $x$ and check that none of them satisfy what we need. We could argue similarly ,and in a faster way, by taking it modulo 11

$x^2 + 3x + 6 \equiv{0} \pmod{11}$

and this congruence is insolvable either, b/c

$0^2 + 3 \cdot 0 + 6 \equiv 6 \neq 0 \pmod{11}$
$1^2 + 3 \cdot 1 + 6 \equiv 10 \neq 0 \pmod{11}$
$2^2 + 3 \cdot 2 + 6 \equiv 5\neq 0 \pmod{11}$
$3^2 + 3 \cdot 3 + 6 \equiv 2 \neq 0\pmod{11}$
$4^2 + 3 \cdot 4 + 6 \equiv 1\neq 0 \pmod{11}$
$5^2 + 3 \cdot 5 + 6 \equiv 2 \neq 0\pmod{11}$
$6^2 + 3 \cdot 6 + 6 \equiv 5\neq 0 \pmod{11}$
$7^2 + 3 \cdot 7 + 6 \equiv 10\neq 0 \pmod{11}$
$8^2 + 3 \cdot 8 + 6 \equiv 6\neq 0 \pmod{11}$
$9^2 + 3 \cdot 9 + 6 \equiv 4 \neq 0 \pmod{11}$
$10^2 + 3 \cdot 10 + 6 \equiv 4 \neq 0 \pmod{11}$

so the equation

$x^2 + 300x + 9950 = 33y^2$

has no integral solutions $x,y$ . END

~ والله أعلم ~

02-03-2009, 12:20 PM

محاولة صغيرة للمسألة العاشرة

:

Find $(2002+2,2002^2+2,2002^3+2,...)$

Solution

Note that $2002+2 = 2004 = 2^2 \cdot 3 \cdot 167$

where $2,3,167$ are primes

now, for all integers $a\ge 2$ we have

$2002^a + 2 \equiv{0} \pmod{2}$
$2002^a + 2 \equiv{2} \pmod{4}$

so all $2002^a + 2$ will have exactly one $2$ in their prime factorization

now note also that

$2002^a + 2 \equiv{1^a + 2} \equiv{3} \equiv{0} \pmod{3}$

so all $2002^a + 2$ will have a $3$ in their prime factorization

also note that

$2002^2 + 2 \equiv{(-2)^2 + 2} \equiv{6} \pmod{167}$

so, at least on of the integers will not have a $167$ in its prime factorization and that's enough for us to exclude $167$ from the gcd

so, we conclude that

$(2002+2,2002^2+2,2002^3+2,...) = 2\cdot 3 = 6$

~ والله أعلم ~

02-03-2009, 02:58 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة waelalghamdi [ مشاهدة المشاركة ]

هذي محاولة بسيطة :

Find all integers $x,y$ satisfying

$x^2 + 300x + 9950 = 33y^2$

Solution

Take both sides given in the problem statement modulo 33

$x^2 + 3x + 17 \equiv{0} \pmod{33}$

but this last congruence is insolvable for all integers $x$ , to see this we could plug in values from $\lbrace 0,1,2,...,32 \rbrace$ for $x$ and check that none of them satisfy what we need. We could argue similarly ,and in a faster way, by taking it modulo 11

$x^2 + 3x + 6 \equiv{0} \pmod{11}$

and this congruence is insolvable either, b/c

$0^2 + 3 \cdot 0 + 6 \equiv 6 \neq 0 \pmod{11}$
$1^2 + 3 \cdot 1 + 6 \equiv 10 \neq 0 \pmod{11}$
$2^2 + 3 \cdot 2 + 6 \equiv 5\neq 0 \pmod{11}$
$3^2 + 3 \cdot 3 + 6 \equiv 2 \neq 0\pmod{11}$
$4^2 + 3 \cdot 4 + 6 \equiv 1\neq 0 \pmod{11}$
$5^2 + 3 \cdot 5 + 6 \equiv 2 \neq 0\pmod{11}$
$6^2 + 3 \cdot 6 + 6 \equiv 5\neq 0 \pmod{11}$
$7^2 + 3 \cdot 7 + 6 \equiv 10\neq 0 \pmod{11}$
$8^2 + 3 \cdot 8 + 6 \equiv 6\neq 0 \pmod{11}$
$9^2 + 3 \cdot 9 + 6 \equiv 4 \neq 0 \pmod{11}$
$10^2 + 3 \cdot 10 + 6 \equiv 4 \neq 0 \pmod{11}$

so the equation

$x^2 + 300x + 9950 = 33y^2$

has no integral solutions $x,y$ . END

~ والله أعلم ~

بارك الله فيك ... أظن أنه من الأفضل تحويل المعادلة إلى $\pmod 4$ ليصبح الحل مباشرا

(لاحظ أنه لأي عدد $a$ نجد $a^2 \equiv 0,1 \pmod 4$ )

أما بالنسبة للسؤال الثاني فهو صحيح. لكن لا أعرف لم تختار الطريق الصعبة دائما (الظاهر تعب السفر

)، كان يمكن اثبات أن القاسم المشترك الأكبر للعددين الأول و الثاني هو 6، ثم اثبات أن الأعداد كلها تقبل القسمة على 6

.

بالتأكيد لا تملك كيبورد عربي

.

02-03-2009, 03:02 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

بارك الله فيك ... أظن أنه من الأفضل تحويل المعادلة إلى $\pmod 4$ ليصبح الحل مباشرا

(لاحظ أنه لأي عدد $a$ نجد $a^2 \equiv 0,1 \pmod 4$ )

أما بالنسبة للسؤال الثاني فهو صحيح. لكن لا أعرف لم تختار الطريق الصعبة دائما (الظاهر تعب السفر

)، كان يمكن اثبات أن القاسم المشترك الأكبر للعددين الأول و الثاني هو 6، ثم اثبات أن الأعداد كلها تقبل القسمة على 6

.

بالتأكيد لا تملك كيبورد عربي

.

والله ما أدري ايش فيني، دائمًا أسلك الطريق الصعب

وبالفعل ، ما كان عندي كيبورد عربي ، وحبيت أتسلى على كم مسألة من مسائلك الجميلة


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة