سلسلة ( من كل بستان وردة )

01-03-2009, 11:57 PM

02-03-2009, 02:48 AM

والله أنا مو كتير شاطر بهيك شغلات
بس جربت أحل بشكل رياضي ووصلت أن ك = - 2 / 11
فهل حلي صحيح يا سيد محي الدين ؟؟؟

02-03-2009, 06:04 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
ك = 1

02-03-2009, 09:24 AM

الاخ محمد / اجابة موفقة بإذن الله ارفق الحل ــ أخى العزيزالمتألق دائما/ رامى محاولة أخرى ويكفينا فقط نتعلم مما قدمته وما تقدمه

03-03-2009, 12:41 AM

وعليكم السلام ورحمة الله تعالى وبركاته

شكرا لك استاذ محيي علي هذا التمرين المتميز

وفي انتظار حل ابسط

اليكم اخوتى هذا الحل الطويل

المقدار الاول يمكن كتابته على صورة مجموع

$\frac{2}{x^2-1}+..+\frac{20}{x^2-100}=\\\sum_{n=1}^{10}\frac{2n}{x^2-n^2}=2\sum_{n=1}^{10}\frac{n}{x^2-n^2}$

نحاول تحويل المقدار الى صورة مجموع كسرين

$\frac{n}{x^2-n^2}=\frac{n}{(x-n)(x+n)}$

$\frac{n}{(x-n)(x+n)}=\frac{a}{x-n}+\frac{b}{x+n}$

$\frac{a}{x-n}+\frac{b}{x+n}=\frac{a(x+n)+b(x-n)}{(x-n)(x+n)}$

بمقارنة البسطين

$ax+an+bx-bn=n\\{}\\ax+bx=0,an-bn=n\\{}\\a+b=0\\a-b=1\\{}\\a=\frac{1}{2},b=\frac{-1}{2}$

$\frac{a}{x-n}+\frac{b}{x+n}=\frac{\frac{1}{2}}{x-n}+\frac{\frac{-1}{2}}{x+n}$

$2\sum_{n=1}^{10}\frac{n}{x^2-n^2}=2\sum_{n=1}^{10}(\frac{\frac{1}{2}}{x-n}+\frac{\frac{-1}{2}}{x+n})\\{}\\\sum_{n=1}^{10}(\frac{1}{x-n}+\frac{-1}{x+n})=$

بنفس الطريقة يمكن التعبير عن المجموع الثانى

$11k\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{(x-n)(x+11-n)}$

$\frac{1}{(x-n)(x+11-n)}=\frac{c}{x-n}+\frac{d}{x+11-n}$

ويمكن ايجاد الثوابت

$c=\frac{1}{11},d=\frac{-1}{11}$

$11k\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{(x-n)(x+11-n)}=11k\sum_{n=1}^{10}(\frac{\frac{1}{11}}{x-n}+\frac{\frac{-1}{11}}{x+11-n})$

$=k\sum_{n=1}^{10}(\frac{1}{x-n}+\frac{-1}{x+11-n})$

ولكن من ناتج المجموع الاول نقارن المجموعين

$\sum_{n=1}^{10}(\frac{1}{x-n}+\frac{-1}{x+n})=k\sum_{n=1}^{10}(\frac{1}{x-n}+\frac{-1}{x+11-n})$

$(k-1)\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{x-n}=\sum_{n=1}^{10}\frac{-1}{x+n}+\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{x+11-n}$

والطرف الايمن واضح انه =0 لان

قيمة ن من 1 الى 10 والحدود بالتعويض جميعها يلاشى الاخر في

هذا الطرف

من ذلك
$k-1=0\\{}\\k=1$

03-03-2009, 01:48 AM

شكرا أخى اشرف على المشاركة المثمرة والفعالة وقيمة ك = 1 وفى انتظار مشاركات الزملاء لاثراء الموضوع

03-03-2009, 02:16 AM

يبدوا ان محاولاتي باءت بالفشل بسبب بعض الأخطاء الحسابية
عموما" أشكر الجميع وأنتظر الحل من الشباب الطيبة
مع شكر خاص لصديقي العزيز الأستاذ محيى الدين

03-03-2009, 03:05 AM

السلام عليكم
مرحبا بالاخوة الأفاضل
هذه مجرد محاولة بسيطة
ليكن: $A=\frac{2}{{x}^{2}-1}+\frac{4}{{x}^{2}-4}+\frac{6}{{x}^{2}-9}+...+\frac{20}{{x}^{2}-100}$
لاحظ أنه يمكن تفكيك الحدود كمايلي:
$\frac{2}{{x}^{2}-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$
$\frac{4}{{x}^{2}-4}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}$
$\frac{6}{{x}^{2}-9}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3}$
.................................................. .....
.................................................. .....
$\frac{20}{{x}^{2}-100}=\frac{1}{x-10}-\frac{1}{x+10}$
و منه يمكن كتابة A على الشكل التالي:
$A=\left(\frac{1}{x-1}- \frac{1}{x+10}\right)+\left( \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+9}\right)+...+\left(\frac{1}{x-10}-\frac{1}{x+1} \right)$
$\Rightarrow A=\frac{11}{(x-1)(x+10)}+\frac{11}{(x-2)(x+9)}+...+\frac{11}{(x-10)(x+1)}$
و منه بالمطابقة مع المجموع الثاني نجد: $k=1$
و السلام عليكم

03-03-2009, 04:22 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مساهمة بسيطة

03-03-2009, 03:38 PM

لانملك الا ان نقول ابداع × ابداع ×0000000الى لانهاية

الاخوة

محمد + اشرف + رامى + مراد + بلقاسم

مشاركات مثمرة استفدتا منها كثيراحفظكم الله

نستعد للسؤال الثانى


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة