تمارين في الرياضيات

07-02-2009, 09:04 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
التمرين ( 1 )

08-02-2009, 03:57 AM

الناتج = صفر

08-02-2009, 07:21 PM

طريقة الحل تعتمد على تطبيق نظريات التحليل المركب أو ما يسمى بطريقة الرواسب
وجد أن:
$\int_{0}^{2\pi }\frac{d\theta }{\lambda +cos\theta }=\frac{2\pi }{\sqrt{{\lambda }^{2}-1}}, \lambda \succ 1$
ومنه نجد أن:
$\int_{0}^{2\pi }\frac{d\theta }{\5 +3cos\theta }$
$=\frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi }\frac{d\theta }{\frac{5}{3}+cos\theta }$
$=\frac{\pi }{2}$

09-02-2009, 02:06 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أشكر الأخ العزيز الأستاذ الفاضل / مراد
على هذا الحل الجميل
ولكن أود منك ( إن كان ذلك ممكنا ً )
إثبات التكامل الذي بدأت به الحل باستخدام نظرية الرواسب
ولكم جزيل الشكر

09-02-2009, 06:52 PM

و عليكم السلام و رحمة الله
ممكن جدا يا اخي الاستاذ محمد خالد غزول
اثبات التكامل:
$I=\int_{0}^{2\pi }\frac{d\theta }{\lambda +cos\theta }, \lambda \succ 1$
لدينــا:
$I=\int_{0}^{2\pi }\frac{d\theta }{\lambda + \frac{{e}^{i\theta +{e}^{-i\theta }}}{2}}= \int_{0}^{2\pi }\frac{2{e}^{i\theta }d\theta }{{e}^{2i\theta} +2\lambda {e}^{i\theta }+ 1}=\frac{2}{i}\oint_{C}^{}\frac{dz}{{z}^{2}+2\lambda z+1}$
حيث: C هي دائرة الوحدة و الموجهة في الإتجاه الموجب.
الدالة: $f(z)=\frac{1}{{z}^{2}+2\lambda z+1}$ لها قطب واحد ينتمي لدائرة الوحدة C هو:
${z}_{0}= - \lambda +\sqrt{{\lambda }^{2}-1}$ و منه:
$\frac{1}{2i\pi }\oint_{C}^{}f(z)dz=Res\left(f, {z}_{0} \right)$ أي: $I=4\pi Res(f, {z}_{0}$
حيث: $Res\left(f, {z}_{0} \right)=\lim_{z\rightarrow {z}_{0}}\left(z-{z}_{0} \right)f(z)=\frac{1}{2\sqrt{{\lambda }^{2}-1}}$
و في الأخير نحصل على:
$I=\int_{0}^{2\pi }\frac{d\theta }{\lambda +cos\theta }=\frac{2\pi }{\sqrt{{\lambda }^{2}}-1}$

09-02-2009, 11:51 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
أجدد شكري للأستاذ القدير / مراد
على هذا الحل المميز

المسألة ( 2 )

10-02-2009, 09:47 PM

حل المسألة 2:
وجدت:
$\int_{0}^{\pi }\frac{xsinxdx}{1+{cos}^{2}x}=\frac{{\pi }^{2}}{4}$
في انتظار المشاركات حتى ادرج خطوات الحل
تحياتي للجميع

11-02-2009, 08:27 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

المسألة ( 3 )

11-02-2009, 10:47 PM

السلام عليكم جميعا

بالنسبة للتكامل الأول : خذ التعويضة : Tan t/2 = x لتصل الى النتيجة
بالنسبة لتكامل من 0 الى pi للدالة x sinx /(1+cos^2x)
let y = pi - x
وستصل للحل ان شاء الله

11-02-2009, 11:40 PM


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة