معادلة دالية (5)

10-09-2009, 05:24 PM

ليكن $\alpha$ عدد حقيقي. أوجد جميع الدوال $f:(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$ و التي تحقق:

$\alpha {x}^{2}f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{x}{x+1}$

و هذا من أجل كل $x>0$ .

11-09-2009, 02:42 AM

السلام عليكم

هل الجواب

$f(x)=\frac{x(1- \alpha x )}{(x+1)(1-{\alpha}^2)}$

11-09-2009, 03:17 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم

هل الجواب

$f(x)=\frac{x(1- \alpha x )}{(x+1)(1-{\alpha}^2)}$

و عليكم السلام و رحمة الله
الجواب أكيد صحيح 100 0/0 بارك الله فيك
في انتظار تفاصيل الحل

11-09-2009, 03:39 AM

في المعطى نضع بدل $x$ ، $\frac{1}{x}$

فنجد
$\alpha \frac{1}{x^2} f(x) +f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x+1}$

نضرب في $\alpha x^2$

$\alpha^2 f(x) +\alpha x^2 f(\frac{1}{x})=\frac{\alpha x^2}{x+1}$

نطرح معادلتك من المعادلة الاخيرة فنجد

$f(x) -\alpha^2 f(x) =\frac{x(1-\alpha x)}{x+1\ }$

و منه نجد المطلوب شرط ان يكون $\alpha$ يخالف $1$ و $-1$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة