ثلاثيات فيثاغورث (phytha goren triple)

مقدمة :

اكتشف البابليون (حوالي 2000 ق.م) العلاقة التي تربط بين أضلاع المثلث القائم

أي العلاقة x²+y²=z² وعينوا أطوال أضلاع عدد من هذه المثلثات منها

(120,119,169) , (4961,6480,8161)

ولم يعثر على برهان ذلك ولا على شرح لطريقة الوصول إلى هذه الأرقام الكبيرة .

وقد قدم برهاناً لوجود حلول صحيحة للمعادلة x²+y²=z² الرياضي اليوناني

فيثاغورث حوالي 500 ق.م وهذه المعادلة هي صنف من معادلات ديوفانتس التربيعية .

وتسمى الأعداد الصحيحة (x,y,z) التي تحقق هذه المعادلة ثلاثيات فيثاغورث

ولنبحث في إيجاد حلول هذه المعادلة .

تعريف :
الثلاثي x,y,z الذي يحقق معادلة فيثاغورث ويحقق العلاقة
1=(x,y,z) يدعى ثلاثي فيثاغورث أولي .

مثال :
(3,4,5) هو ثلاثي فيثاغورث أولي وكذا الثلاثي (5,12,13) .
في حين الثلاثي (6,8,10) هو ثلاثي فيثاغورث غير أولي .

 

 

تمهيدية (1) :
لنفترض أن (x,y,z) ثلاثي فيثاغورث أولي أي 1=(x,y,z)
أثبت أن الأعداد x,y,z هي أولية نسبياً مثنى مثنى .

تمهيدية (2) :
إذا كان (x,y,z) ثلاثي فيثاغورث وكان x,y,z)= d)
فإن (x₀,y₀,z₀) هو ثلاثي فيثاغورث أولي حيث :
x=x₀d , y=y₀d , z=z₀d

تمهيدية (3) :
إذا كان ثلاثي فيثاغورث (x,y,z) أولياً
فإن أحد العددين x,y فردي والآخر زوجي .

تمهيدية (4) :
إذا كان ab=cⁿ حيث 1=(a,b)
فإنه يوجد a₁,b₁ بحيث
a=a₁ⁿ
b=b₁ⁿ

مبرهنة :
إن جميع الحلول الصحيحة غير الصفرية لمعادلة فيثاغورث
x²+y²=z² حيث y عدد زوجي و 1=(x,y,z) تعطى بالعلاقات :
(x=(r²-s²
y=2rs
(z=(r²+s²
حيث r,s أعداد صحيحة غير صفرية و 1 =(s,r) ,
s,r أحدهما فردي والآخر زوجي .
(نحصل على جميع ثلاثيات فيثاغورث بأن نضرب قيم x,y,z بالعدد الصحيح الغير صفري k) .


أثبت التمهيديات والمبرهنة السابقة بالاستفادة من :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=4102

 

 

أيضاً :
http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=4221

 

 

تمارين

تمرين(1): أوجد جميع ثلاثيات فيثاغورث الأولية علماً أن : x=15

 

 

اقتباس :

تمرين(1): أوجد جميع ثلاثيات فيثاغورث الأولية علماً أن : x=15

الحل :

لدينا x=r²-s²=15 ومنه : 15=(r+s)(r-s)

وقيم r,s الممكنة التي تحقق الطلب هي التي تحقق مايلي:

r+s=15 و r-s=1
أو
r+s=5 و r-s=3

بحل المجموعتين نجد:

r=8 و s=7
أو
r=4 و s=1

وثلاثيات فيثاغورث المطلوبة هي:
(15,8,17),(15,112,113)

 

 

تمرين (2): أثبت أنه إذا كان (x,y,z) ثلاثي فيثاغورث أولي فإن أحد الأعداد

x,y,z يقبل القسمة على 3 .

 

 

استخدم قدماء المصريين هذه العلاقة قيل البابليون بالاف السنين كما هو مثبت في اوراق البردي واستخدموا ذلك في بناء الزوايا القائمة بحبل به 12 عقدة على مسافات متساوية وربطه على اوتاد تحقق اطوال اضلاع المثلث القائم 3 ، 4 ، 5

 

 

ممكن الطريقة الآتية تستخدم في ايجاد ثلاثيات فيثاغورس
نأخذ أي عددين صحيحين متتاليين ( 2 :3 )
ثم نربع العددين (4 : 9)
أحد أضلاع المثلث = الفرق بين المربعين = 9-4 = 5
الثاني = مجموع المربعين = 4+9 = 13
الثالث = العدد الأول x العدد الثاني x ي 2 = 2*3*2 = 12

 

 

merçi