إليكم هذه المسألة من مسائل الألمبياد .

أحسب مجموع مربع الحدود المائة الأولى من متتالية حسابية :



إذا علمت أن : و

بالتوفيق للجميع .

 

 

مجموع المتتالية الحسابية = -1
مجموع الحدود الزوجية للمتتالية الحسابية = 1

نستنتج أن مجموع الحدود الفردية للمتتالية الحسابية = -2

مجموع الحدود = (نصف عدد الحدود) × [ 2أ + (م - 1)د]

حيث :

مجموع الحدود = جـ
عدد الحدود = م
أساس المتتابعة = د
الحد الأول = أ

من المعطيات نستنتج أن :

جـ = 50 (2أ + 99د) = -1

جـ1 = 25 ( 2(أ+د) + 49ر ) = 1 ..... حيث : ر = 2د

جـ2 = 25 ( 2أ + 49ر ) = -2



نلاحظ الآتي :

جـ1 = 25(2أ + 49ر) + 50د = 1

25(2أ + 49ر) = 1 - 50د = جـ2

1 - 50د = -2

د = 3 ÷ 50

د = 0.06 ... وهو أساس المتتابعة ....

بما أن :

جـ = 50 (2أ + 99د) = -1

100أ + 4950د = -1

د = 0.06

100أ + 297 = -1

100 أ = - 298

أ = - 2.98 وهو الحد الأول



في المتتابعة الأخرى ... وهي ( أ^2 ، (أ+د)^2 ، (أ+2د)^2 ، ... ، (أ+99د)^2 )

مجموع حدودها كالآتي :

جـ = (م÷2) (2أ + (م-1)د )

م = 100 ، أ = أ^2 = 8.8804

د = الحد الثاني - الحد الأول

د = (أ+د)^2 - أ^2 = - 0.354


إذا : جـ = 50 ( 2×8.8804 + 99 × (- 0.354 ) ) = - 864.26

 

 

تعقيبا على حل اخى الكريم
المجموع لايمكن جمعه في الفقرة الاخيرة هكذا
مج(ا +ن د)^2 من ن=0 الى ن=99
طبعا ا كما ذكر اخى احيث نعلم ان
مج س = مجموع متتابعة حسابية مثل 1+2+3+4+00
مج س^2 من س=1 الى س=ن
=ن(ن +1)(2ن +1)\ن

نعود الى المقدار

مج(ا +ن د)^2 =مج(ا ^2 +2 ا ن د +(ن د )^2)

=مج ا^2 + مج 2 ا ن د +مج (ن د)^2
وحيث ان د ثابت
=مج ا^2 +2 ا د مج ن + د^2 مج ن^2
الفترات من ن =0
الى ن =99 وهو للحد الاخير في المتتابعة
=100 *ا^ 2 لان الحد الاول يتكرر 100 مرة
+ 2 ا د (0+1+2+3+000+99) وهذه تساوى 2 ا د (100\2)(+ +99)
+د^2 (0 +1 +4 +9+16 +000+99^2) وهى تساوى
د^2(99(99 +1)(2*99 +1)\99)

وطبعا ا كما ذكر اخى الكريم معلومة وكذلك د

100 *(- 298\100)^ 2 لان الحد الاول يتكرر 100 مرة
+ 2 (-298\100) (6\100) (0+1+2+3+000+99) وهذه تساوى 2 ا د (100\2)(+ +99)
+ (6\100)^2 (0 +1 +4 +9+16 +000+99^2) وهى تساوى
(6\100)^2(99(99 +1)(2*99 +1)\99)

 

 

مج ن^2= ن(ن+1)(2ن+1)/6 يا أستاذ أشرف

وحيث الحد الأول = -149/50 و الأساس =3/50

لذلك المجموع المطلوب =14999/50
= 299.98

وبالله التوفيق

 

 

اعلم اخى الكريم ربما التسرع احدث هذا اللبس
وجزاك الله خيرا على التعديل
لكن ان شاء الله نعيد النظر

تحياتى اخى الكريم

 

 

برافو أخ aattiy .

حل موفق .

تحياتي للجميع .