بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ،

طلب إلينا بعض الإخوة و الاخوات وضع دروس في نظرية الأعداد (Number Theory ) و ذلك لقلة الاهتمام بهذا الفرع من الرياضيات بالرغم من أهميته.

و قد أبدى البعض رغبته في أن نلقي الضوء على مفهوم القياس ( mod) و التوسع في شرح خصائصه و العمليات المصاحبة له.

سنقوم بعد التوكل على الله بوضع سلسلة دروس تتناول هذا الموضوع كاملا و وضع بعض التمارين عقب كل درس ليتم حلها بالتعاون مع الأعضاء الكرام.

مـقـدمـــــــــــــــــــ ــة

يعنى فرع نظرية الأعداد بدراسة خصائص الأعداد الطبيعية ( Natural Numbers )

و التي يطلق عليها مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ).

تمت دراسة هذه الخصائص منذ أوقات بعيدة تعود إلى قبل الميلاد ، على سبيل المثال :

المعادلة : س ² + ص ² = ع ² ( x² + y² = z² )

لها عدد لا نهائي من الحلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) ، بينما المعادلات :

س ³ + ص ³ = ع ³ ( x³ + y³ = z³ )

س ⁴ + ص ⁴ = ع ⁴ ( x⁴ + y⁴ = z⁴ )

ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ).

هناك عدد لا نهائي من الاعداد الأولية ، العدد الاولي هو عدد طبيعي مثل 23 لا يمكن كتابته بشكل ضرب عددين طبيعيين أصغر (عوامل - Factors ) على عكس
33 و هو غير أولي : 33 = 3 × 11 .

حقيقة أن متسلسلة الأعداد الأولية ( Sequence of primes ) :

2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، ..........

هي متسلسلة غير محدودة منسوبة إلى إقليدس ( Euclid ) الذي عاش حوالي

350 قبل الميلاد ، هناك الكثير من المسائل الغير محلولة في نظرية الإعداد.

لعل أشهر مثال هو نظرية فيرما الأخيرة ( Fermat's Last Theorem ) ، و هي التي استعصت على البرهان حتى عام 1994 .

صرّح بيير دي فيرما ( Pierre de Fermat : 1601 - 1665 ) بوجود برهان لديه

للتالي :

المعادلة : س ^ن + ص ^ن = ع ^ن

xⁿ + yⁿ = zⁿ

ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers )

لكل ن > 2 ( For every n > 2 ) .

أضاف فيرما أن هامش الكتاب كان صغيرا جدا ليكتب البرهان عليه.

هناك بعض المفاهيم في نظرية الأعداد من الضروري

أن نعرضها قبل البدء بالدروس :

النتائج العامة في نظرية الأعداد عادة ما تعتمد على الملاحظات المعتمدة على

التجربة ( Empirical Observations) ، قد تلاحظ أن كل عدد طبيعي ( Natural Number ) حتى 1000 مثلا يمكن كتابته على شكل مجموع مربعات 4 أعداد طبيعية ( Sum of four squares ) :

1000 ² = 30 ² + 10 ² + 0 ² + 0 ²

999 ² = 30 ² + 9 ² + 3 ² + 3 ²

قد يكون من المشجع أن تخمّن ( Conjecture ) أن كل عدد طبيعي يمكن التعبير عنه كمجموع لمربعات أربعة أعداد طبيعية ( Sum of Four squares )
و هذا صحيح و هي نظرية يطلق عليها نظرية المربعات الأربعة (Sum of Four Squares Theorem) قد وضع البرهان الأول لها لاجرانج ( Lagrange : 1736 - 1813 ) سنقوم بوضع برهانها في سياق هذه السلسلة من الدروس.

بالطبع ، المخّمَنة ( Conjecture ) المعتمدة على التجربة و بعض الأمثلة قد يثبت خطؤها ، يكفي أن تأتي بمثال مضاد ( Counter Example ) واحد يخالف نتيجتها لكي تثبت بطلانها.

مثال : قام ليونارد أويلر ( Leonhard Euler : 1707 - 1783 ) بتخمين أنه لا يمكن
كتابة أس ( Exponent ) لعدد طبيعي كمجموع لأعداد طبيعية أقل من نفس الأس ، على سبيل المثال :

مكعب ( Cube ) عدد طبيعي لا يمكن كتابته كمجموع لمكعبات أعداد طبيعية
أقل منه ، و هذا صحيح و سيرد البرهان في سياق هذه السلسلة.

أول مثال مضاد ( Counter Example ) لهذه المخّمَنة (Conjecture ) تم تقديمه

في عام 1968 :

144 ⁵ = 27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵

على أية حال ، التجربة و الملاحظة ( Empirical Observations ) لها أهمية في

إكتشاف النتائج العامة و اختبار صحة المخّمَنات ( Conjectures ) و هي مهمة

أيضا لفهم النظريات و لذلك ينصح الدارس ببناء أمثلة عددية خاصة به عندما

تكون النظرية غير مفهومة تماما.

إلى الدرس الأول : قابلية القسمة

 

 

الدرس الأول : قابلية القسمة ( Divisibility )

تعريف 1.1 يكون العدد الصحيح ب قابلا للقسمة(Divisible) على العدد الصحيح أ (أ لا يساوي الصفر) ، إذا وجد عددا صحيحا ك بحيث:

ب = أ × ك و نكتبها ب | أ ( a | b )

a | b : b = ax for some x , a , b and x are integers and a is not zero

ملحوظة : عندما نستخدم أحد التعبيرين : " قابل للقسمة" أو " يقسم على"

نعني أنه يقسم عليه بدون باقي.

أمثلة : 10 | 2 لأن 10 = 2 × 5

0 | 20 لأن 0 = 0 2× 0

من الواضح أننا لا نستطيع وضع الصفر على الجهة اليسار

يمكننا التعبير عن قابلية القسمة ( Divisibility ) بلغة أخرى :

ب| أ : أ هو قاسم ( Divides) للعدد ب و أ هي عامل ( Divisor ) من عوامل ب

و ب هي مضاعف ( Multiple ) للعدد أ

مثال : 20| 5 :

20 تقسم ( Divisible) على 5
5 قاسم ( Divides ) للعدد 20
5 عاملا (Divisor ) للعدد 20
20 مضاعف (Multiple ) للعدد 5

نظرية 1.1

(1) ب | أ تعطي ب جـ | أ لأي جـ عدد صحيح

for any integer c

(2) ب | أ و جـ | ب تعطي جـ | أ



(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب س + جـ ص | أ لأي س و ص أعداد صحيحة

(4) ب | أ و أ | ب تعطي أ = +- ب

(5) إذا كان العددين أ و ب صحيحين موجبين و كان ب | أ يكون أ ب

(بمعنى آخر ب هو الأكبر بين قواسمه )

البرهان :

(1) ب | أ ، إذا يوجد ك عدد صحيح بشرط ب = أ × ك

بضرب الطرفين بـ جـ : ب جـ = أ × (ك جـ) ، ك جـ عدد صحيح لتكن كَ = ك جـ

إذا ب جـ = أ × كَ و منها ب جـ | أ

(2) متروكة للقارىء

(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب = أ × ك و جـ = أ × كَ

إذا

ب س + جـ ص = ( أك )س + ( أكَ ) ص = أ( ك س ) + أ ( كَ ص )

ب س + جـ ص = أ ( ك س + كَ ص ) و منها ب س + جـ ص | أ

لأنها تساوي أ مضروبة بالعدد الصحيح ( ك س + كَ ص )

(4) متروكة للقارىء

( 5 ) ب | أ تعني ب = أ × ك أ

حقائق :

(1) العدد الصحيح الزوجي نعبّر عنه بالشكل 2 ك

و العدد الصحيح الفردي نعبّر عنه بالشكل 2 ك + 1 ، حيث ك عدد صحيح

(2) عندما نقسم عددا صحيحا على 3 يكون باقي القسمة أحد الأعداد

0 ، 1 ، 2 . ينتج عن ذلك أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل(ك عدد صحيح) :

3 ك ، 12 = 3 × 4
3ك + 1 ، 22 = 3 × 7 + 1
3ك + 2 ، 32 = 3 × 10 + 2
و أكثر من ذلك ، خذ أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ، أحدهم يجب أن يقسم على 3 .

السبب : أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل :
3ك أو 3ك + 1 أو 3ك + 2 و كما ترى هي متتالية و أحدها 3ك يقسم على 3

 

 

(1) إذا كان أ | س و ب | س أثبت أن :

أ + ب | س و أ - ب | س

(2) كم عدد صحيح بين الـ 100 و الـ 1000 يقسم على 7 ؟

(3) أثبت البندين الثاني و الرابع من النظرية 1.2

(4) أثبت أن ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يقسم على 6

(5) إذا كان ب | أ و د | جـ أثبت أن ب د | أ جـ

(6) أثبت أن ن² + 2 لا تقسم على 4 لكل عدد صحيح ن

(7) إذا كان ب جـ | أ جـ أثبت أن ب | أ

(8) إذا كان س و ص صحيحين فرديين أثبت أن س² + ص² زوجي و لكن لا يقسم على 4

(9) أثبت أن مربّع أي عدد صحيح يأخذ الشكل 3ك أو 3ك + 1 و ليس

3ك + 2

(10) إذا كانت ن أكبر أو تساوي 2 و ك عدد صحيح موجب ، أثبت أن :

ن ^ك - 1 | ن - 1

أتطلع لرؤية حلول الإخوة و الأخوات

 

 

السلام عليكم استاذي الفاضل
اسمح لي ان ابدا بالمشاركة من النهاية اي حل رقم عشرة
ن^ك -1 باضافة وطرح الحدود
( ن^ك-1 +ن^ك-2 + 000+ن) يصبح المقدار مساويا
ن^ك -1 =ن^ك+( ن^ن-1 +ن^ك-2 + 000+ن ) -ن^ن-1 -ن^ك-2 - 000- -ن-1
ن^ك-1 = الان ساخذ كل حد موجب مع حد سالب
= (ن^ك - ن^ن-1) +(ن^ك-1 - ن^ن-2)+(ن^ك-2 - ن^ك-3)+000 +(ن -1)
الان ناخذ عامل مشترك من كل حدين
ن^ك-1= ن^ك-1(ن-1) +ن^ك-2(ن-1) +0000+(ن-1)
= (ن-1) [ ن^ك-1 +ن^ك-2 +ن^ك-3 +000+1]
وهو المطلوب
وساقوم بارفاق صورة للحل لسهولة قراءته ولكن بعد تلقي ردكم علي الحل من حيث الصحة او الخطا

 

 

واليك لرقم 8
نفرض س = 2ك +1 حيث ك زوجي ، ص = 2م +1 حيث م زوجي
س^2 +ص^2 = (2ك +1)^2+(2م +1)^2
= 4ك^2 +4ك + 1 + 4م^2 +4م +1
= 4(ك^2 + ك + م^2 + م ) +2
= 2 [ 2((ك^2 + ك + م^2 + م ) +1] وهو زوجي
(س^2 +ص^2) /4 = (ك^2 +ك +م^2 +م ) + (1/2)
المقدار داخل القوس بعد علامة = عدد صحيح زوجي حيث انه مجموع الحدين
(ك^2 + م^2 ) + ( ك + م) وكلاهما زوجي
اذن س^2 + ص^2 لاتقبل القسمة علي العدد 4

 

 

أحسنت أخي سيد كامل

 

 

السلام عليكم
بارك الله فيكم على هذا الشرح الميسر
بالنسبة للسؤال (1) :
أ|س يكافئ يوجد ك / أ= ك*س
ب|س يكافئ يوجد ص / ب=ص*س حيث ك ، ص عددان صحيحان
أ+ب = ك*س + ص*س = س ( ك+ص) أي أ+ب|س
أ-ب = ك *س – ص *س = س( ك –ص) أي أ –ب|س

السؤال(6) : هذه محاولتي فيه

ن²+2 لا يقبل القسمة على 4
نفرض أن ن²+2 يقبل القسمة على 4 ( برهان بالخلف)
ينتج :ن ²+2= 4ك ك عدد صحيح
ن ²+2ن+1= 4ك +2ن-1
(ن+1)² = 2(2ك+ن) -1

في الطرف الثاني : عدد فردي مهما تكن قيمتي ن ،ك
في الطرف الأول : العدد زوجي من أجل ن فردي
نحصل على:
من أجل ن فردي عدد زوجي=عدد فردي وهذا تنـــــاقض
إذا الفرضية غير صحيحة

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
السؤال 4
لدينا 2 اولي مع 3
ونعلم ان ضرب عددين متتابعين قابل للقسمة على 2 وايضاضرب ثلاثة أعداد قابل للقسمة على 3
ادن ضرب ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يقسم على 6

 

 

(5) إذا كان ب | أ و د | جـ أثبت أن ب د | أ جـ

لدينا
y|X ادن يوجدp بحيث x=py
و
a|b ادن يوجدd بحيث b=da
ادن
xb=dp*ay
ادن xb|ay العكس ههه

 

 

(9) أثبت أن مربّع أي عدد صحيح يأخذ الشكل 3ك أو 3ك + 1 و ليس

3ك + 2
مربّع أي عدد صحيح يخالف 3 يساوي 1 بترديد 3 حسب مبرهنة فيرما N²=1 [3]
لان 3 اولي
او يساوي 0 بترديد 3 ادا كان العدد من مضاعفات 3
ادن يكتب اما على شكل 3k+1 او 3k