معادلات الدرجة الثالثة بمجهول واحد:
الاختزال ...
الصورة العامة لمعادلة الدرجة الثالثة بمجهول واحد هي :


س3+ ب س2 + جـ س = م بإضافة وطرح المقدار (ب2/3 ) س


س3 + ب س2 + (ب2/3 ) س + جـ س - (ب2/3 ) س = م بإضافة (ب/3)3 إلى الطرفين نصل إلى :


س3 + ب س2 + (ب2/3 ) س + (ب/3)3 +جـ س - (ب2/3 ) س = م + (ب/3)3 بإكمال المكعب وبالتبسيط نحصل على :


[س+(ب/3)]3 + [جـ - (ب2/3)] س = م + (ب/3)3


الآن وباعتبار س+(ب/3) = ص ومنه س= ص-(ب/3) و بالتعويض في المعادلة السابقة يكون الناتج:



ص3 + [جـ - (ب2/3) ][ ص-(ب/3)]= م+ (ب/3)3 وبالتوزيع :



ص3 + [جـ - (ب2/3)] ص - (ب/3)[جـ - (ب2/3)] = م + (ب/3)3 وبالتالي:



ص3 + [جـ - (ب2/3)] ص = م + (ب/3)3 + (ب/3)[جـ - (ب2/3)]




ص3 + [جـ - (ب2/3)] ص = م +(ب/3)3 +(ب/3)[جـ -(ب2/3)]


بافتراض أن : جـ -(ب2/3) = و , م + (ب/3)3 + (ب/3)جــ - (ب2 /3)] = ث اذاً المعادلة تصبح :


ص3 + وص = ث


--------------------------------------------------------------------------------

طريقتي في حل المعادلة : ص3 + وص = ث ( طريقة غندر )


ص3 + وص = ث (1)




نفترض وجود المعادلة التالية: ص3 + 3ك ص2 + 3ك2 ص = ث (2)

معادلة يمكن حلها بإكمال المكعب


بالمقابلة بين (1) و (2 ) ينتج :


وص =3ك ص2 +3ك2ص


أي أن: وص =3ك ص2 +3ك2ص

3ك ص2 = وص -3ك2ص

3ك ص2 = ص( و -3ك2)

ص =( و -3ك2)/3ك *


وفي المعادلة (2) نضيف ك3 إلى الطرفين فتصبح :

ص3 + 3ك ص2 + 3ك2 ص + ك3 = ث + ك3

بإكمال المكعب:

(ص+ ك)3 = ث+ ك3


(ص+ ك) = الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 )



ص= الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك ++++


من * , ++++



(و-3ك2)/3 ك = الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك يكافئ





و-3ك2 =3 ك ( الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك )



و-3ك2 =3 ك ( الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) - ك )



و-3ك2 =3 ك الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) -3ك2



و = 3 ك الجذر التكعيبي ل ( ث+ ك3 ) بالتكعيب



و3 = 27 ك3 ( ث + ك3 )



و3 = 27( ك3)2+ 27 ك3 ث



( ك3)2+ ك3 ث + = ( و/3) 3

بحل المعادلة التربيعية في ك3


ك = الجذر التكعيبي لـ[موجب أو سالب ( الجذر التربيعي لـ( ( 4 و^3 + 27 ث^2 )/108) -(ث/2 )




نعوض في * لنحصل على قيمة ص وهو التعويض الأسهل وهو الجديد في هذه الطريقة أو نعوض في ++++ لنحصل على نفس النتيجة الأخيرة عند كاردان موافقة لطريقة كاردان .


بأخذ التعويض الأول :
من الاختزال :


و = (ب2)/3


ث= م + (ب/3) و + (ب/3)3 ص = (و -3ك3)/3ك


ولكن :


ص= س+(ب/3)

إذا

س = ص - (ب/3)


س= ( و -3ك2)/3ك - (ب/3)


س= (و - ب ك - 3ك2)/ 3ك

حيث ك لا تساوي الصفر (1)


الآن ما هي الحالة ك =0 لا حظ المعادلة الثانية في البرهان السابق :


ص3 + 3ك ص2 + 3ك2 ص = ث

الآن: ك=0 ماذا يحدث للمعادلة

تتحول إلى المعادلة البسيطة التالية :


ص3 = ث

ومنها :


ص = جذر ( ث )


ولكن :

ص= س + (ب/3)


اذاً


س + ( ب / 3 ) = جذر ث



ومنها

س = جذر ث - ( ب / 3 ) ( 2 )


الآن نصوغ الطريقة بشكل شامل كالتالي :


الطريقة العامة لحل معادلة الدرجة الثالثة س3 + ب س2+ جـ س = م , م لاتساوي الصفر



نحسب :


و= جـ - (ب2/3) ث= م +(ب/3) و + (ب/3)3 ك = الجذر التكعيبي لـ[موجب أو سالب ( الجذر التربيعي لـ( ( 4 و^3 + 27 ث^2 )/108) -(ث/2 )


(1) عندما ك لا تساوي الصفر :


س= (و - ب ك - 3ك2) / 3 ك

(2) عندما ك = 0

س = جذر ث - ( ب / 3 )



بمعلومية الحل الأول س


نوجد الحلين الآخرين باستخدام القسمة المطولة أو من هذا القانون :

[ - ( ب + س ) /2 ] موجب أو سالب جذر [ ( - 4 م + س ( س + ب )^2 ) / 4 س ]


(عنما يكون المميز = 0 فالحلان الآخران متساويان )





المصدر : الأخ الأستاذ / غندر ( هذه الطريقة مسجلة باسمه )

 

 

استاذي
الحين صارت المعادلات ممكنة بالنسبة لي

 

 

بالتوفيق دائما أخي النبيه يوسف

 

 

شكرا

 

 

عفوا أخي الكريم