Compare the numbers u and v

20-11-2009, 01:01 AM

السلام عليكم ورحمة الله
if
$u+u^2+u^3+....+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+....+v^10+10v^11=8$
compare u and v

20-11-2009, 02:59 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
نبحث اشارة u and v
$\frac{u(1-u^9)}{1-u}+9u^9=\frac{v(1-v^11)}{1-v}+9v^11=8$
لاحظ أن
$u \neq0 and v \neq0$
اذا كانت u عدد سالب فان
u = -α حيث α > 0
$\frac{u(1-u^9)}{1-u}+9u^9=\frac{-\alpha (1+\alpha ^9)}{1+\alpha }-9\alpha ^9<0$
وهذا يعنى ان α لن تكون سالبة
بنفس الطريقة بالنسبة ل v
$0 < u < 1 and 0 < v < 1$
لمقارنة u and v توجد 3 حالات ممكنة
u = v ,u < v and u > v
الحالة الاولى u = v
$u+u^2+u^3+.....+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+.....+v^10+10v^11 = 8$
$9u^9 = u^10 + 10u^11 = 8$
$u^9(10u^2 + u - 9) = 0$
$u^9(u + 1)(10u - 9) = 0$
u = 0 or u = -1 or u = 0.9
u=0 and u = -1 refused
$\frac{u(1-u^9)}{1-u}+9u^9=\frac{0.9(1-0.9^9)}{1-0.9}+9\times 0.9^9=9-9\times 0.9^9+9\times 0.9^9=9\neq 8$
$u\neq v, 0<u<0.9 and 0<v<0.9$

الحالة الثانية u > v
$u+u^2+u^3+.....+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+.....+v^10+10v^11=8$
$9u^9<v^10+10v^11$
Put u = mv where m>1
$9m^9 v^9<v^10+10v^11$
$9m^9 < v + 10v^2$
$0<v<0.9 then 0<v^2<0.81$
$0 < v + 10v^2$ then $9m^9 < v + 10v^2$
$v + 10v^2>9$ but $9m^9 >9$ that is means $0<v + 10v^2<9$
then u < v
تحياتى لكم
عمر محمود

20-11-2009, 06:41 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة jomanaomar [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
نبحث اشارة u and v
$\frac{u(1-u^9)}{1-u}+9u^9=\frac{v(1-v^11)}{1-v}+9v^11=8$
لاحظ أن
$u \neq0 and v \neq0$
اذا كانت u عدد سالب فان
u = -α حيث α > 0
$\frac{u(1-u^9)}{1-u}+9u^9=\frac{-\alpha (1+\alpha ^9)}{1+\alpha }-9\alpha ^9<0$
وهذا يعنى ان α لن تكون سالبة
بنفس الطريقة بالنسبة ل v
$0 < u < 1 and 0 < v < 1$
لمقارنة u and v توجد 3 حالات ممكنة
u = v ,u < v and u > v
الحالة الاولى u = v
$u+u^2+u^3+.....+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+.....+v^10+10v^11 = 8$
$9u^9 = u^10 + 10u^11 = 8$
$u^9(10u^2 + u - 9) = 0$
$u^9(u + 1)(10u - 9) = 0$
u = 0 or u = -1 or u = 0.9
u=0 and u = -1 refused
$\frac{u(1-u^9)}{1-u}+9u^9=\frac{0.9(1-0.9^9)}{1-0.9}+9\times 0.9^9=9-9\times 0.9^9+9\times 0.9^9=9\neq 8$
$u\neq v, 0<u<0.9 and 0<v<0.9$

الحالة الثانية u > v
$u+u^2+u^3+.....+u^8+10u^9=v+v^2+v^3+.....+v^10+10v^11=8$
$9u^9<v^10+10v^11$
put u = mv where m>1
$9m^9 v^9<v^10+10v^11$
$9m^9 < v + 10v^2$
$0<v<0.9 then 0<v^2<0.81$
$0 < v + 10v^2$ then $9m^9 < v + 10v^2$
$v + 10v^2>9$ but $9m^9 >9$ that is means $0<v + 10v^2<9$
then u < v
تحياتى لكم
عمر محمود

آسف أخي، و لكنك لم تترك فرصة للآخرين للحل، مع أن هذه المسائل الغير صعبة يقبل عليها الجميع!

20-11-2009, 07:10 PM

بوركت اخي عمر


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة