مسابقة أجمل حل - س5

13-02-2009, 07:45 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

السؤال الخامس

حل التكامل:

المسألة العامة :

======================================
Evaluate the integral

$\int{\frac{dx}{cosx}$

The general problem

Evaluate the integral

$\int{\frac{dx}{cos^n x}$

من سيعطينا أجمل حل ؟

سنقوم بطرح أسئلة عبارة عن مسألة عامة يكون لها طريقة حل عامة

تطبق كل مرة و تحل بطرق كثيرة و مختلفة

الحل الصحيح لن يكون معيارا للفوز

للفوز يجب أن يكون اجمل حل : طريقة الحل أنيقة ، تحتوي على أقل عدد ممكن

من الخطوات و أقل ما يمكن من الحسابات و فيها شيء من الابتكار

الشروط

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوع لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

- يمكن لنفس المتسابق أن يضع حلول مختلفة للسؤال المطروح و لكن تحتسب النقاط لواحد منها فقط

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

-تنتهي مهلة وضع الحلول كل يوم جمعة الساعة السادسة مساءً بتوقيت غرينيتش حيث سيتم إغلاق الموضوع بعد ذلك

14-02-2009, 04:01 AM

نستعمل التكامل بتغيير المتغير

14-02-2009, 08:53 AM

تكامل دس/جتاس=تكامل قاس دس=تكامل قاس(قاس+ظاس)/(قاس+ظاس)دس
تكامل قاس^2+قاس ظاس\(قاس+ظاس) دس
ص=قاس +ظاس دص/دس=قا^س + قاس ظاس
بالتعويض تكامل دص/ص= لو القيمة المطلقة ص +ج
= لو القيمة المطلقة (قاس +ظاس) +ج

14-02-2009, 02:02 PM

اجابة السؤال الخامس هو :
http://www.arabruss.com/uploaded/4262/q5.doc
وبصفة عامة يكون كالأتي :

14-02-2009, 02:29 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

14-02-2009, 02:42 PM

14-02-2009, 02:56 PM

14-02-2009, 03:05 PM

تكملة بسيطة لحلي السابق

15-02-2009, 08:46 PM

بارك الله فيكم

15-02-2009, 10:05 PM

السلام عليكم و رحمة الله
1/ ايجاد التكامل : ${I}_{1}=\int \frac{dx}{cosx}$
لدينا:
$\frac{1}{cosx}=\frac{cosx}{{cos}^{2}x}=\frac{cosx}{1-{sin}^{2}x} =\frac{1}{2}\left<\frac{cosx}{1-sinx}+\frac{cosx}{1+sinx} \right>$
و منه التكامل يصبح على النحو التالي:
${I}_{1}=\frac{1}{2}\left[\int \frac{cosx}{1-sinx}dx+\int \frac{cosx}{1+sinx}dx \right]=\frac{1}{2}\left[-ln(1-sinx)+ln(1+cosx) \right]+C$
و عليه:
${I}_{1}=ln\left(\sqrt{\frac{1+cosx}{1-sinx}} \right)+C=ln\left(\left|tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right| \right)+C$
2/ حل التكامل العام: ${I}_{n}=\int \frac{dx}{{cos}^{n}x}$
${I}_{n}=\int \frac{dx}{{cos}^{n}x}=\int \left(\frac{{cos}^{2}x+{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x} \right)dx={I}_{n-2}+ \int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x}dx$
$\int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x}dx=\int sinx.\frac{sinx}{{cos}^{n}x}dx$
نستعمل التكامل بالتجزئة:
$u=\frac{sinx}{{cos}^{n}x}\Rightarrow {u}^{'}=\frac{1}{{cos}^{n-1}x}+\frac{{sin}^{3}x}{{cos}^{n+1}x}$
${v}^{'}=cosx\Rightarrow v=sinx$
و بعد التعويض و التبسيط نجد
$\int \frac{{sin}^{2}x}{{cos}^{n}x}=\frac{1}{(n-1)}\left[\frac{sinx}{{cos}^{n-1}x}-{I}_{n-2} \right]$
و في الأخير نحصل على العلاقة التراجعية التالية: من أجل $n\geq 2$
${I}_{n}=\frac{sinx}{(n-1){cos}^{n-1}x}+\left(\frac{n-2}{n-1} \right){I}_{n-2}$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة