متفاوتة جميلة من اختراعي

11-02-2009, 12:03 AM

اثبث انه في اي متلث ، المتفاوتة التالية محققة :

حدد حالة التساوي

11-02-2009, 02:48 PM

متفاوتاتك جميلة.
وإليك الحل:

يمكن اختزال المسألة لتصبح على النحو:

$(\sin A \cos A)^2 + (\sin B\cos B)^2 + (\sin C \cos C)^2 \ge \frac{4}{3}\sin ^2 A \sin ^2 B \sin ^2 C$

بملاحظة بسيطة:

$LHS= \sum_{cyc} \sin^2 A \cos^2 A \ge \frac{\displaystyle \left( \sum_{cyc}\sin A \cos A\right)^2}{3} = \frac{4}{3} \sin^2 A \sin ^2 B \sin ^2 C$

والله أعلم.

08-03-2009, 01:17 AM

السلام عليكم

حلك صحيح ، شكرا لك على المجهود

هده طريقتي التي توصلت بها للمتفاوتة

استعمال المتفاوتة المساعدة $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

و ايضا المتساوية المساعدة $\frac{cos(A)}{sin(B)sin(C)}+\frac{cos(B)}{sin(C)sin(A)}+\frac{cos(C)}{sin(A)sin(B)} =2$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة