متفاوتة مغربية اخرى

28-03-2009, 09:46 PM

هده متفاوتة من اولمبياد 27 مارس 2009 لمستوى السنة التانية بكلوريا ( وهي السنة الختامية )

ليكن $x$ و $y$ عددين حقيقين موجبين .

اتبث ان :

$\frac{1}{(1+\sqrt{x})^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq\frac{2}{x+y+2}$

29-03-2009, 03:50 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

هده متفاوتة من اولمبياد 27 مارس 2009 لمستوى السنة التانية بكلوريا ( وهي السنة الختامية )

ليكن $x$ و $y$ عددين حقيقين موجبين .

اتبث ان :

$\frac{1}{(1+\sqrt{x})^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq\frac{2}{x+y+2}$

أولا نعلم أن $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac$ ،
بوضع $a^2 = x, b^2 = y, c^2 = 1$ نجد أن المتفاوتة تصبح:

$x + y + 1 \ge \sqrt x + \sqrt y + \sqrt{xy}$ .

الآن بإضافة 1 لكلا الطرفين نجد أن

$x+y+2 \ge \sqrt x + \sqrt y + \sqrt{xy} + 1 = (\sqrt x+1)(\sqrt y+1)$

بقلب الطرفين ثم ضرب كل منهما في 2 نجد:

$\frac 2{x+y+1} \le \frac{2}{(\sqrt x+1)(\sqrt y+1)}$

ونعلم من AM-GM أن:

$\frac {1}{(\sqrt x+1)^2} + \frac{1}{(\sqrt y+1)^2} \ge \frac{2}{(\sqrt x+1)(\sqrt y+1)} \ge \frac 2{x+y+2}$

وهو المطلوب.

29-03-2009, 06:51 PM

السلام عليكم

حل صحيح اخي ، بارك الله فيك ، و هو نفس الحل الدي كتبته يوم الاولمبياد

31-03-2009, 03:54 PM

السلام عليكم .

حل آخر لهذه المتفاوتة :

باستعمال متفاوتة Cauchy-schwarz

لدينا : $\left( {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt x+ 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt y+ 1} \right)}^2}}}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt x+ 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt y+ 1} \right)}^2}} \right) \ge {\left( {1 + 1} \right)^2} = 4$

أي : $\frac{1}{{{{\left( {\sqrt x+ 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt y+ 1} \right)}^2}}} \ge \frac{4}{{x + y + 2\sqrt x+ 2\sqrt y+ 2}}$

ولنسمي هذه المتفاوتة الأخيرة (1)

الآن باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي لدينا :

$2\sqrt x\le x + 1$ و $2\sqrt y\le y + 1$

وبجمع هاتين المتفاوتتين وإضافة $x+y+2$ لكل طرف نجد :

$x + y + 2\sqrt x+ 2\sqrt y+ 2 \le 2x + 2y + 4$

ومنه :

$\frac{4}{{x + y + 2\sqrt x+ 2\sqrt y+ 2}} \ge \frac{4}{{2x + 2y + 4}}$

أي : $\frac{4}{{x + y + 2\sqrt x+ 2\sqrt y+ 2}} \ge \frac{2}{{x + y + 2}}$

ولنسمي هذه المتفاوتة الأخيرة (2)

من المتفاوتتين (1) و (2) نصل إلى النتيجة المطلوبة .

31-03-2009, 09:10 PM

السلام عليكم

شكرا لك اخي عمر على الحل الجميل

سؤال اخر في هدا التمرين

حدد حالة التساوي ؟

31-03-2009, 09:39 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة ياسين [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم

شكرا لك اخي عمر على الحل الجميل

سؤال اخر في هدا التمرين

حدد حالة التساوي ؟

عندما $x=y=1$ ، والله أعلم.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة