بين أن

لكل n من N

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة zouhirkas [ مشاهدة المشاركة ]

بين أن لكل n من N

السلام عليكم

محاولة على عجالة أستاذ zouhirkas

بإمكاننا أن نحول صيغة السؤال إلى صيغة أخرى مكافئة له
وهي:
أثبت أن (5ن^7 + 7ن^5 + 23ن) يقبل القسمة على 35
الحل:
سنثبت بداية أن المقدار يقبل القسمة على 5 ومن ثم على 7 وبالتالي على 35

(5 مود) ب = ن
نلاحظ أن جميع القيم الممكنة لـ ب هي: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4
وبالتالي فإن باقي قسمة (23ن) على 5 تأخذ احد الاحتمالات التالية:
0 ، 3، 1، 4، 2((على التوالي))
باقي قسمة (7ن^5) على 5 يأخذ أحد الاحتمالات التالية ((على الترتيب)):
0 ، 2 ، 4 ، 1 ، 3
باقي قسمة (5ن^7) على 5 هو 0
بجمع البواقي السابقة نجد أنها تساوي على الترتيب السابق:
5 ، 5 ، 5 ، 5 ، 5
أي أنه يقبل القسمة على الـ 5
بمثل الأسلوب نجد أن باقي قسمة (23ن) على 7 له أحد الاحتمالات التالية:
0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 1 ، 3 ، 5
باقي قسمة (7ن^5) على 7 هو 0
باقي قسمة (5ن^7) على 7 له أحد الاحتمالات التالية:
0 ، 5 ، 3 ، 1 ، 6 ، 4 ، 2
وبالتالي فإن مجموع البواقي على الترتيب هو:
7 ، 7 ، 7 ، 7 ، 7 ، 7 ، 7

أي أن المقدار كاملا يقبل القسمة على 7
من هنا نجد أنه يقبل القسمة على 35

-والله أعلم-

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة Sadiq Al-Ali [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم محاولة على عجالة أستاذ zouhirkas بإمكاننا أن نحول صيغة السؤال إلى صيغة أخرى مكافئة له وهي: أثبت أن (5ن^7 + 7ن^5 + 23ن) يقبل القسمة على 35

جميل أستاذ صادق، دعني أكمل من هنا بحل آخر:

يمكن تحويل المسألة إلى: أثبت أن

يكفي التأكد أن المقدار يقبل القسمة على 7 ثم على 5.

المقدار يقبل القسمة على 7:

لاحظ أنه إذا كان فإن .
إذا كان غير ذلك، فمن نظرية فيرما

.

وينتج المطلوب.

المقدار يقبل القسمة على 5:

بالطريقة نفسها.

بالتالي يقبل القسمة على 35.