اليوم أدى طلاب المرحلة الثانوية اختبار مسابقة الرياضيات والتي تعد أسئلتها مدينة الملك عبدالعزيز للعلوم والتقنية ( المركز الوطني للعلوم والرياضة )

وقد وصلتني الأسئلة ( بدون الإجابات ) فأحببت أن نتعاون على حلها

علماً بأن الأسئلة ليست خاصة بمنهج ثالث ثانوي

وسوف أكتب السؤال الأول فقط وإذا تم حله أكتب الثاني ... وهكذا حتى تنتهى الأسئلة ( زمن الاختبار ثلاث ساعات )

شدوا حيلكم نبغى محاولات جادة ( حتى ولو كان غير مكتملة أو غير صحيحة )


السؤال الأول :

(أ) أوجد مجموعة حل المعادلة ( س^2- (2س + 1 )^1/2 )1/2 = 2 - س

(ب) أوجد جميع أصفار كثيرة الحدود

د(س) = س^4 - 3 س^3 + 6 س^2 + 2س - 60

(ج) إذا كانت ( س ، * ) زمرة وكان ( س * ص )^2 = س^2 * ص^2 لكل س ، ص ينتميان إلى س فأثبت أن ( س ، * ) إبدالية [ لاحظ أن س^2 = س * س ]


أي شخص يعرف حل أي فقرة ( ولو واحدة ) يكتبها وليس بالضرورة أن يكون الحل بالترتيب


أبو علي

 

 

ممتاز أخي ابو علي ممتاز !

 

 

هل تعتقدون أن تربيع الطرفين في فقرة (أ) سيؤدي إلى الحل ؟

جربوا


أبو علي

 

 

(أ) أوجد مجموعة حل المعادلة ( س^2- (2س + 1 )^1/2 )1/2 = 2 - س

ضروري شط الحل ان س اقل من 2

س = 1.5



ب) أوجد جميع أصفار كثيرة الحدود

د(س) = س^4 - 3 س^3 + 6 س^2 + 2س - 60


الجذور هى



3 ، -2 ، 1+3 ت ، 1- 3 ت

لك تحياتى

 

 

ابن البادية مشكور وما قصرت
لقد أعطيتنا مفتاح الحل

واسمح لي أن أكتب شرحاً بسيطاً عن كيفية حل كثيرات الحدود التي من الدرجة الثالثة فأكثر
لحل معادلات كثيرات الحدود التي من الدرجة الثالثة أو أكثر نبحث عن عدد يحقق المعادلة ( بالتخمين )
إلا أن هناك نظرية تساعدنا كثيراً في عملية التخمين وهي : إذا وجد حل لمعادلة كثيرة الحدود ( عدد صحيح ) فإنه يكون من قواسم الحد الثابت في كثيرة الحدود
لذلك لو كان العدد الثابت هو 3 مثلاً فإن الحلول ( كأعداد صحيحة ) إن وجدت فهي 1 أو -1 أو 3 أو -3 فقط
نجرب هذه الأرقام ( بالتعويض في المعادلة ) لتعطينا بداية الحل
وأما إذا كانت الحد الثابت عدد كبير مثل 60 مثلاً فمن الصعب التحقق من جميع قواسم 60
لذلك نجرب 1 ، -1 ، 2 ، -2 وهكذا
أما الصفر فلا نجربه لأنه من المؤكد لن يكون حلاً للمعادلة والسبب هو وجود حد ثابت في المعادلة

في هذا السؤال وجدنا أن د(-2) = صفر
وعليه فإن ( س + 2 ) يكون عاملاً من عوامل كثيرة الحدود المعطاة
نقوم بإجراء القسمة المطولة لنحصل على الناتج


د(س) = ( س + 2 ) ( س^3 - 5 س^2 + 16 س - 30 )

نعيد عملية التخمين بالنسبة لكثيرة الحدود الجديدة ( الناتج ) فنجد أن 3 هو أحد حلولها وعليه فإن ( س - 3 ) هو عاملا لها
نجري عملية القسمة المطولة على كثيرة الحدود الجديدة فنجد أن

س^3 - 5 س^2 + 16 س - 30 = ( س - 3 ) ( س^2 - 2 س + 10 )

الأن نحل المعادلة

( س + 2 ) ( س - 3 ) (س^2 - 2 س + 10 ) = صفراً

إما س + 2 = صفر ===> س = -2
أو س - 3 = صفر ===> س = 3
أو س^2 - 2 س + 10 = صفر وهذه نحلها بإستخدام القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية بمجهول واحد فنجد أن الحلين هما :

(1 + 3 ت )
( 1 - 3 ت )

إنتهى


ملاحظة :
توجد برامج لحل المعادلات التي من الدرجة العاشرة فأقل.

أرجو ممن لديه طريقة أخرى أو ملاحظة أن لا يبخل علينا بها.


أبو علي

 

 

شكرا ابو على

على الشرح

لك تحياتى

 

 

مشكور أخوي ابن البادية على أعطانا مفتاح الحل
أسأل الله سبحانه وتعالى أن يجعلك دائماً مفتاحاً للخير

بالنسبة لحل الفقرة (أ) ( والتي تفضل بحلها الأستاذ ابن البادية )


( س^2- (2س + 1 )^1/2 )1/2 = 2 – س

نربع الطرفين فنجد أن

س^2 – ( 2 س + 1 )^2 = 4 – 4 س + س^2

أي أن ( 2 س + 1 )^2 = 4 س – 4

نربع الطرفين مرة أخرى فنجد أن

2 س + 1 = 16 س^2 – 32 س + 16

نرتب المعادلة

16 س^2 – 34 س + 15 = صفر

وهذه معادلة من الدرجة الثانية تحل بإستخدام القانون العام

فيكون الحل

إما س = 3/2

أو س = 5/8 وهذا الحل مرفوض لأنه خارج نطاق الدالة



أبو علي

 

 

باقي فقرة ( ج )

وين الناس ؟

يا أهل الرياضيات شكل هالفقرة بسيطة

إبدأوا وكل شيء يهون ( إن شاء الله )؟


أبو علي

 

 

مرحبا ابو علي

بالنسبة لفقرة ج فالحل كالتالي

للتسهيل لن اكتب العلامة

(س ص )^2 = س ص س ص = س س ص ص ..... الاولى تعريفا والثانية من الشرط

بالضرب في س^-1 من اليمن و ص^-1 من اليسار نحصل على المطلوب

تحياتي ......

 

 

ممتاز يالمتميز

وينك من أول ؟

طيب شدوا حيلكم في السؤال الثاني ( فقرتين فقط )

السؤال الثاني :

(أ) استخدم الاستقراء الرياضي لإثبات أن :

( 1 - س ) ( 1 + س ) ( 1 + س^2 ) ( 1 + س^4 ) 000( 1 + س^2^ن) = 1 - س^2^(ن+1)
لكل ن عدد صحيح غير سالب
ملاحظة ( من عندي ) س^2^(ن+1) تعني أن أس س هو 2 أس (ن+1) يعني أس لأس

(ب) يلعب فريق كرة قدم خلال أيام شهر شوال ( 30 يوماً ) 45 مباراة على الأكثر بشرط أن يلعب مباراة واحدة على الأقل يومياً . أثبت وجود فترة من الأيام المتتالية خلال هذا الشهر بحيث يكون مجموع عدد المبارايات التي يلعبها الفريق في هذه الفترة هو 14 مباراة بالضبط.


أبو علي