معادلة بل (Pell's Equation)

(ملاحظة: أنني لا أملك خبرة واسعة في هذا المجال، فأرجو ممن يملك الخبرة التدقيق)

في الحقيقة معادلة بل التي تنسب إلى العالم "بل Pell" تمت دراستها قبل أن يولد "بل" بألف سنة، و قد درسها العالم الرياضي الشهير "Brahmagupta" (لست متأكدا من طريقة كتابة اسمه باللغة العربية). معادلة "بل" تكتب على الصورة التالية:

أو بصورة أخرى ليتم دراستها بسهولة و هي الصورة التي سنركز عليها:

حيث أعداد صحيحة، و وهو ليس مربعا كاملا.
( العدد ليس مربع كامل، ذلك لأن لاغرانج “Lagrange” برهن أنه إذا تحقق هذا الشرط فإنه يوجد أعداد صحيحة موجبة تحقق المعادلة).


في الحقيقة، معادلة "بل" هي حالة خاصة من المعادلة الديفونتية "Diophantine Equation" من الدرجة الثانية، حيث أن المعادلة الديفونتية من الدرجة الثانية تكتب على الصورة:

وهي ليست محل دراستنا الآن.

الهدف من هذا كله هو إيجاد قيم الصحيحة التي تحقق المعادلة في حال معلومية قيمة العدد . لكن قبل أن نبدأ بتحريك ساكن، لاحظ أن:

وأيضا:

لكن إن كان

و

فإن

و

أو بكلام آخر، إذا كان و حلين لمعادلة "بل" فإن:

حلين آخرين، وهذا يعني أننا نستطيع إيجاد عدد لا نهائي من الحلول إن أمكن لنا استنتاج حلين ابتدائيين. ولكن يمكن إستنتاج عدد لا نهائي من الحلول باستنتاج حل ابتدائي واحد فقط، لاحظ أنه إن كان فإن حل آخر (لماذا؟).

للحديث بقية نكتبها لاحقا بإذن الله تعالى.