حلو السؤال

اشتد النقاش ( ممتاز جدا )


من للاجابة ؟؟؟؟



تحياتى

 

 

2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 30

وننتظر آراء مشرفينا ..

 

 

شكرا لك Shahad_Uae على مساهماتك المتميزة !


تفسيرا للقاعدة التي أوردتها :

إذا قسمنا ضلع المربع إلى أربعة أقسام متساوية ، وسنطلق عليه

مربع : 4 × 4 فإن عدد المربعات :

2^1 + 2^2 + 2^3 + 2 ^4 = 30

وقياسا على ذلك ، إذا كان المربع : 3 × 3 :

2^1 + 2^2 + 2^3 = 14 و هي صحيحة

و لكن إذا كان المربع : 2 × 2 :

2^1 + 2^2 = 6 و الصحيح هو 5 .

كذلك الأمر بالنسبة للمربع : 5 × 5 :

2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 62 و الصحيح هو 55


لقد توصلت لقاعدة صحيحة للمربع : ن × ن

؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟ ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

 

 

فكروا بالمربع : 4×4 على اننا قد قسّمنا الأضلاع إلى 4 وحدات

كم مربعا يوجد إذا كان عدد الوحدات : 4 ؟

كم مربعا يوجد إذا كان عدد الوحدات : 3 ؟

كم مربعا يوجد إذا كان عدد الوحدات : 2 ؟

كم مربعا يوجد إذا كان عدد الوحدات : 1 ؟

إذا أجبتم على هذه الأسئلة ستجدون الجواب ماثلا أمامكم

 

 

استاذنا القدير ..

الملاحظ ان لإيجاد عدد المربعات عند وجود 2 وحده كالتالي

(2×2) + ( 1× 1 ) = 5

لايجاد عدد المربعات عند وجود 3 وحده يكون كالتالي :
( 3×3 ) + (2×2 ) + ( 1×1 ) = 14

لايجاد عدد المربعات عند وجود 4 وحدة يكون كالتالي :
( 4×4 ) + ( 3×3 ) + (2×2 ) + ( 1×1 ) = 30

لايجاد عدد المربعات عند وجود 5 وحدة كالتالي :
(5×5) + ( 4×4 ) + ( 3×3 ) + (2×2 ) + ( 1×1 ) = 55

إذن الفكرة :
نأخذ عدد الوحدات في الضلع الواحد وليكن ن
ثم في الخطوة الأولى نوجد ن×ن و نجمع الناتج مع (ن-1) × (ن-1)


سؤالي أستاذي :
كيف يمكن صياغة قانون عام للعمليه السابقة ..

وتسلم .. ونحن بانتظار مشرفينا ..

 

 

شكرا شهد الإمارات عل حماسك و اصرارك للوصول إلى الحل

و لكنك توصلت للحل فعلا !

اقتباس :

الملاحظ ان لإيجاد عدد المربعات عند وجود 2 وحده كالتالي (2×2) + ( 1× 1 ) = 5

1 ^2 + 2 ^ 2

اقتباس :

لايجاد عدد المربعات عند وجود 3 وحده يكون كالتالي : ( 3×3 ) + (2×2 ) + ( 1×1 ) = 14

1 ^2 + 2 ^2 + 3 ^ 2

اقتباس :

لايجاد عدد المربعات عند وجود 4 وحدة يكون كالتالي : ( 4×4 ) + ( 3×3 ) + (2×2 ) + ( 1×1 ) = 30

1 ^2 + 2 ^2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2

اقتباس :

لايجاد عدد المربعات عند وجود 5 وحدة كالتالي : (5×5) + ( 4×4 ) + ( 3×3 ) + (2×2 ) + ( 1×1 ) = 55

1 ^2 + 2 ^2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2

إذا للمربع ن × ن :

1 ^2 + 2 ^2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + ............. + ن ^ 2

للآن هذا حلك .

المشكلة كانت في إيجاد قانون بدلالة ن :

حسنا إنها قاعدة معروفة لدى المدرسين :

1 ^2 + 2 ^2 + 3 ^ 2 + .... + ن ^ 2 = ن ( ن +1 )( 2ن + 1 ) /6

ن =2 ، ن ( ن +1 )( 2ن + 1 ) /6 = 5

ن =3 ، ن ( ن +1 )( 2ن + 1 ) /6 = 14

ن =4 ، ن ( ن +1 )( 2ن + 1 ) /6 = 30

ن =5 ، ن ( ن +1 )( 2ن + 1 ) /6 = 55

شكرا لك و أرجو ان تكون الفائدة قد تحققت

 

 

شكرا استاذي على التوضيح .. وأكيد بجهودكم تتحقق الإستفادة
وجزاكم الله خير ..


[QUOTE]
حسنا إنها قاعدة معروفة لدى المدرسين :

1 ^2 + 2 ^2 + 3 ^ 2 + .... + ن ^ 2 = ن ( ن +1 )( 2ن + 1 ) /6
____________________________________

استاذي .. سؤالي ..
لمن تنسب هذه القاعده .. وماذا يطلق عليها .. ( اسم القاعده)
وتحت أي فرع من فروع علم الرياضيات يمكن ان أجدها

واسمح لي أستاذي ..
وتسلم ..

 

 

عزيزتي ،

هذه ليس لها اسم و لكن يمكن استخدامها في الجبر و في التحليل الرياضي أيضا

و يمكن أن تقولي إنها من مواضيع المجاميع (Summation )

أو المتتاليات كـ:

1 + 2 + 3 + 4 + ............ + ن = ن ( ن + 1) /2

متتالية حسابية حدها الأول =1 و أساسها = 1

فإذن مجموع حدود ن الأولى منها = ن( 1 + ن )/2

و مثل قاعدتك :

1^3 + 2^3 + 3 ^3 + ...... + ن^3 = ن^2 (ن+1)^2 /4

فيمكننا القول :

مجموع مكعبات ن الأولى من الأعداد الطبيعية = مربع مجموع ن الأولى من الأعداد الطبيعية

و يمكن برهان: 1^2 + 2^2 + ......+ ن^2
بطريقة تعتمد على ( س + 1 )^3 - س^3

و برهان: 1^3 + 2^3+ ......+ ن^3
بطريقة تعتمد على ( س + 1 )^4 - س^4

أو بطريقة الـ: Mathematical Induction

أظن أنها الإستقراء الرياضي باللغة العربية

شكرا على سؤالك

 

 

[sand47]

اقتباس :

كاتب الرسالة الأصلية : ابن البادية انظر الصورة

-------------------------------------------------------
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
هل صح

 

 

تمام أخي sand47

شكرا على الرسم التوضيحي الرائع