مسابقة أجمل حل - س6 - الصفحة 2

22-02-2009, 03:24 AM

السلام عليكم و رحمة الله
هذه طريقة أخرى لحل السؤال الأول تعتمد على استعمال التحويلات النقطية في المستوي المركب ( الدوران )
ليكن المستقيمان: $({\Delta }_{1}): x+y+1=0$ و $({\Delta }_{2}): -2x+y+2=0$
نفرض أن المستقيم $({\Delta }_{2})$ ناتج عن تحويل نقطي للمستقيم $({\Delta }_{1})$ بالدوران الذي مركزه النقطة الصامدة (الثابتة)( نقطة تقاطع المستقيمين ) ذات اللاحقة ${z}_{0}=\frac{1}{3}-\frac{4}{3}i$ و زاويته $\theta$ .
و نرمز لهذا الدوران بالرمز ${Rot}_{({z}_{0},\theta })$ و معرف كمايلي:
$Rot(z)={z}^{'}:{z}^{'}=\lambda z+\alpha$
لتكن النقطتان ذات اللاحقتان ${z}_{1}=-i\in ({\Delta }_{1})$ و ${z}_{2}=-2i\in ({\Delta }_{2})$ و منه يصبح لدينا:
$Rot({z}_{0})={z}_{0}\Leftrightarrow \frac{1}{3}(1-4i)=\lambda \frac{1}{3}(1-4i)+\alpha ..............(1)$
$Rot({z}_{1})={z}_{2}\Leftrightarrow -2i=-\lambda i+\alpha ..............(2)$
من (1) و (2) بالطرح ثم التبسيط نحصل على: $\lambda =\frac{-1}{2}-\frac{3}{2}i$
نكتب العدد المركب $\lambda$ على الشكل المثلثي: $\lambda =\left|\lambda\right|{e}^{i\theta }$ حيث: $\left|\lambda\right|=\frac{\sqrt{10}}{2}$ و $\theta =Arg(\lambda )$ و المعرفة ب:
$\left( cos\theta =\frac{-1}{\sqrt{10}} ; sin\theta =\frac{-3}{\sqrt{10}}\right)\Rightarrow tan\theta =3$
$\Rightarrow \theta =Arctan(3)={71.562}^{o}$

23-02-2009, 01:54 PM

نوجد نقطة تقاطع المستقيمين وهي : ( 1\3 ، -4\3 )

نأخذ نقطة من أحد المستقيمين ، وليكن المستقيم الأول ، ولتكن النقطة ( 0 ، -1 )

نوجد بعدها عن المستقيم الآخر وهو = 1\ جذر5

نوجد أيضا ً بعد النقطة السابقة ( 0 ، -1 ) عن نقطة التقاطع ( 1\3 ، -4\3 )

البعد = (جذر2) \3

وفي النهاية : جا هـ = ( 1\جذر5 ) ÷ [ ( جذر2)\3 ]

جاهـ = 3\جذر10

هـ = 71.565

أو هـ = 108.435

23-02-2009, 04:24 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أوجد الزاوية بين المستقيمين:
س + ص + 1 = 0 (1)
-2 س + ص + 2 = 0 (2)

الفكرة
بعمل إنتقال (إنسحاب) لنقطة الأصل
إلى نقطة تقاطع المستقيمان وَ ( 1\3 , -4\3)
معادلات التحويل منسوبة إلى المحاور الجديدة وَ سَ , وَ صَ
س= سَ + 1\3 & ص = صَ - 4\3
( 1) , (2)
تصبح المعادلتين ( 1) , (2) منسوبة إلى المحاور الجديدة وَ سَ , وَ صَ
على الصورة
سَ+صَ=0 (1)َ
-2سَ + صَ = 0 (2)َ

ثم إجراء دوران للمحاور بزاوية -45 بحيث ينطبق محور السينات على المستقيم الأول
معادلات التحويل منسوبة إلى المحاور الجديدة وَ سً , وَ صً
سً= (سً + صً)\جذر2 & صً = (-سً+صً)\جذر2
تصبح المعادلتين ( 1)َ , (2)َ منسوبة إلى المحاور الجديدة وَ سًَ, وَ صً
على الصورة
صً =0 (1)ً
-3سً - صً = 0 (2)ً

فيكون ميل المستقيم الثانى منسوب للإحداثيات الجديدة معبراً عن ظل الزاوية هـ التى يصنعها مع محور السينات الجديد ( المستقيم الأول)
ظا هـ = -3
قياس الزاوية المنفرجة المحصورة بينهما = 26 َ 108 درجة

23-02-2009, 04:36 PM

طريقة أخرى لحل السؤال الأول
لتكن لاحقة شعاع توجيه المستقيم الأول $\vec{U}(-1,1)$ العدد المركب: $u=-1+i$
و لاحقة شعاع توجيه المستقيم الثاني $\vec{V}(-1,-2)$ العدد المركب: $v=-1-2i$
و إذا كانت $\theta$ هي الزاوية بين شعاعي توجبه المستقيمين فإن:
$tan(\theta) =tan\left(\vec{U},\vec{V} \right)=\left|\frac{Im(\bar{u}.v)}{Re(\bar{u}.v)} \right|$
حيث: $\bar{u}.v=(-1-i)(-1-2i)=-1+3i$ و منه $Re(\bar{u}.v)=-1$ و $Im(\bar{u}.v)=3$ و بالتالي:
$tan(\theta )=\left|\frac{3}{-1} \right|=3\Rightarrow \theta =Arctan(3)$
[/SIZE

]

23-02-2009, 10:39 PM

السلام عليكم و رحمة الله
حل سؤال المسألة العامة
لتكن معادلة المستقيمين:
$({\Delta }_{1}): y={m}_{1}x+{k}_{1}; {m}_{1}=\frac{-a}{b}, {k}_{1}=\frac{-c}{b}$
حيث: ${m}_{1}=tan({\theta }_{1})$ ميل المستقيم الأول
و $({\Delta }_{2}): y={m}_{2}x+{k}_{2}; {m}_{2}=\frac{-d}{e}, {k}_{2}=\frac{-f}{e}$
حيث: ${m}_{2}=tan({\theta }_{2})$ ميل المستقيم الثاني
و لتكن $\theta$ الزاويه بين المستقيمين
نميز 6 حالات لوضعيات تقاطع المستقيمين موضحة في المرفق التالي:
http://www.arabruss.com/uploaded/32772/1235415885.doc
إذا في الحالة العامة:
نضع: $D=\left|arctan{m}_{1}-arctan{m}_{2} \right|$ فيكون قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين:
$\theta =D if 0\leq D\prec 90$ أو $\theta =180-D if D\succ 90$
و الله أعلم

24-02-2009, 05:13 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

مرحباً بالأخوة الكرام

هذا تصحيح مهم للحل
الوارد بالمشاركة الأولى بتاريخ 21\2\2009
المطلوب:
أوجد الزاوية بين المستقيمين:
س + ص + 1 = 0 (1)
-2 س + ص + 2 = 0 (2)
المستقيم الأول يوازى المستقيم الذى معادلته
س + ص -1 = 0 (3) الذى يتقاطع مع المستقيم الثانى فى النقطة ( 0,1)
وعلى ذلك فإن
الزاوية بين المستقيمين (1) &(2) = الزاوية بين المستقيمين (3) & (2)

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة استاذ الرياضيات [ مشاهدة المشاركة ]

مرفق حل بسيط

24-02-2009, 07:03 PM

الحل العام:

لنفرض أن $(a,b) \longrightarrow a+bi$ (في مستوى أرجاند كما يسمونها بالعربية):

نظرية: إذا كان $a,b,c$ نقاط في مستوى أرجاند وكان $\theta = \angle acb$ فإنها تحقق (طبعا من الممكن أن تكون الزاوية موجبة أو سالبة حسب اتجاه الزاوية)

$\frac {c-b}{|c-b|} = e^{i\theta} \frac{c-a}{|c-a|}$

25-02-2009, 01:01 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا للجميع وهذه مساهمة متواضعة

06-03-2009, 08:47 PM

الشكر الجزيل لكل المشاركين

النتيجة :

المركز الاول : mourad24000

5 نقاط

المركز الثاني : بلقاسم أحمد

4 نقاط

المركز الثالث : استاذ الرياضيات
3 نقاط

المركز الرابع : سيد كامل

نقطتان

نقطة واحدة لكل من

mathson
hesham
SmilER
أيمن ديان


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة