أولمبياد الدولية 2009 باللغة العربية

17-06-2009, 07:40 PM

بسم الله

__الموضوع الأول ================================================== ==========________________________________________ __________________
الهدف من التمرين هو إيجاد جميع الدوال المعرفة على $\mathbb{R}$ و التي تحقق في المجال $[-1.1]$ $f(2x)=2f(x)^2-1$

بحيث $f(0)=1$ والتعبير $\frac{1-f(x)}{x^2}$ يقبل نهاية عند ما $x$ تؤول إلى الصفر التي نحددها ب $a$

ندكر بكل $x$ من المجال $[-1,1]$ تكتب على شكل واحد $x=cos(\alpha)$ مع $\alpha$ من المجال $[0,\pi]$
1) (a) تحقق $\lim_{\alpha \to 0}\frac{1-cos(\alpha)}{\alpha^2}=\frac{1}{2}$ (يمكن إستعمال علاقة تعطي $cos(2r)$ )

(b) بين أن لكل $\alpha$ من المجال $[0,\frac{\pi}{2}]$

لدينا العلاقة : $sin(\alpha)\ge \frac{2\alpha}{\pi}$ و $cos(\alpha)\le 1-\frac{\alpha^2}{\pi}$

2) لتكن $f$ دالة تحقق المطلوب

نعطي لكل $x$ حقيقي و $n$

صحيح (a)
$f(\frac{x}{2^n})=cos(\alpha_n)$ مع

$\alpha_n$ من المجال $[0,\pi]$

بين أن $f$ متصلة في 0 و $\lim_{n \to \infty}\alpha_n=0$

(b) بين أنه يوجد $N$ بحيث لكل

$n \ge N$ لدينا $\alpha_{n+1}=\frac{\alpha_n}{2}$

إستنتج أن $a$ موجب و $f(x)=cos(x\sqrt{2a})$

__________________________________________________ __________======================================== ====================

سأترجم من بعد الموضوع الأخر إن شاء الله

19-06-2009, 05:58 AM

بسم الله

قد يتبين لكم بأن التمرين طويل وممل لا بل على العكس إنه فقط يقوم على بناء وتنمية عقل الباحث عن الحل كيف دالك
لو جائك في تمرين حدد جميع الدوال المعرفة على ....و التي تحقق ....... لاربما لن تعرف من أين تبدىء
ولاكن ماهو مختلف في هدا التمرين هو وضع منهجية وخطة لحل التمرين مهما كانت صعوبته
إن في imoهدا هو هدفهم
وشكرا


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة