أثبت أن المقدار يمثل عدداً صحيحاً

23-06-2008, 05:51 PM

23-06-2008, 06:35 PM

(1+sqrt 2)^3=7+5 sqrt 2 then cubic root of (7+5 sqrt 2)=1+sqrt 2
and the other cubic root =1- sqrt2

by addition the given expression =2 = integer

23-06-2008, 07:21 PM

السلام عليكم

شكراً لك أستاذ صلاح

وهذا توضيح الحل باللاتيك :

$\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^3 }} + \sqrt[3]{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^3 }} = 2$

طريقة أخرى

$let\quad \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = x$

بتكعيب الطرفين

$7 + 5\sqrt 2+ 3\sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)^2 }} \times \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} + 3\sqrt[3]{{\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)^2 }} \times \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + 7 - 5\sqrt 2= x^3$

$\Rightarrow \quad 14 + 3\sqrt[3]{{49 - 50}}\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right) = x^3$

$\Rightarrow \quad 14 - 3x = x^3 \quad\Rightarrow \quad x^3+ 3x - 14 = 0$

$\Rightarrow \quad (x - 2)(x^2+ 2x + 7) = 0\quad\Rightarrow \quad x = 2$

23-06-2008, 09:45 PM

أستاذ صلاح جزاك الله خيراً على هذا الحل المختصر والملاحظة الجيدة .

أستاذة ليلى بارك الله فيك على حلك الرائع جداً


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة