الحقيقة المرة عن التكاملات

15-08-2007, 11:35 PM

ما هي الدوال البسيطة - elementary functions ؟

1) الدوال النسبية - Rational functions

2) الدوال الجبرية - Algebraic functions

الصريحة و الغير مباشرة explicit or implicit

3) الدالة الاسية هـ ^س - the exponential function e^x

4) الدالة اللوغاريتمية - the logarithmic function

5) الدوال المثلثية و الدوال المثلثية العكسية - Trigonometric Functions & Inverse trigonometric functions

6) أي معادلة محددة غير نهائية من كل ما سبق

Finite combination from all of the above

الحقيقة المرة أنه هناك تكاملات لا يمكن التعبير عن إجابتها

بواسطة الدوال الابتدائية(البسيطة - elementary functions)

حيث أنه يمكننا التعبير عن تكامل بواسطة قاعدة تحوي دوال بسيطة ، لا يمكن التعبير ابدا بواسطة قاعدة

بسيطة عن تكامل مثلا

بغض النظر عن مقدار الجهد الذي تبذله و مهما حاولت ، لن يمكنك ابدا التعبير

بواسطة قاعدة تحوي دوال بسيطة عن تكاملات من مثل :

سنتحدث لاحقا عن السبب في ذلك و كيف يتم حل هذه التكاملات

إن شاء الله

16-08-2007, 01:54 AM

أخى الأستاذ القدير uaemath
دائماً تتلمس العصب الحساس فى الرياضيات بفروعها
لافضفوك

16-08-2007, 05:06 PM

شكرا صديقي العزيز الاستاذ امام على المرور الكريم ، الحقيقة أن هذا الموضوع

يسأل عنه الكثيرون و يعتبرونه بشعا و لذلك احببت أن القي الضوء على هذا

الموضوع.

يمكن حل هذه التكاملات باستخدام المتسلسلات اللانهائية (infinite series)

تاريخيا برزت المتسلسلات النهائية بسبب عملية المكاملة و كان أول من

استخدمها نيوتن و ما زالت تستخدم حتى الآن و لكن بصورة أدق

(سنشرح لاحقا ما المقصود بكلمة أدق )

لنستعرض الآن كيفية الحصول على مفكوك المتسلسلات اللانهائية :

وجد تايلور ( عالم رياضيات إنكليزي و تلميذ نيوتن 1685 - 1731 ) بطريقة

معقدة و غير دقيقة صورة عامة للتعبير عن الدوال القابلة للإشتقاق بواسطة

قوى ( x - a ) و المشتقات عند x = a :

بعد مرور 30 عاما اقترح ماكلورين (عالم رياضيات إنكليزي) الصيغة التالية :

و عليه :

الآن لنأخذ التكامل :

نوجد مفكوك ماكلورين لـ

في الحقيقة ليس علينا إيجاد المشتقات و التعويض ، كل ما علينا فعله هو

التعويض بـ x ² - مكان x في العلاقة اعلاه :

و لكن هذه ليست كامل القصة ..........

التكامل :

نقسم مفكوك sinx أعلاه على x :

سنرى فيما بعد ان يمكن التعبير عن بعض هذه التكاملات بواسطة علاقات

دوال مثل دالة غاما ، الدوال الزائدية ، و دالة الخطأ ( error function )

ملاحظة أخيرة ، بحيث أنه لا يمكن التعبير عن تكاملات مثل :

إلا أن ذلك ممكن للتكامل :

اضغط هنا لرؤية الحل

للحديث بقية

16-08-2007, 05:51 PM

موضوع رائع رائع رائع ................رائع......رائع^ن

متابع

16-08-2007, 07:23 PM

موضوع رائع جداً

17-08-2007, 05:36 PM

شكرا yousuf ، la245 على المرور ،

اقتباس :

استخدمها نيوتن و ما زالت تستخدم حتى الآن و لكن بصورة أدق

(سنشرح لاحقا ما المقصود بكلمة أدق )

لإيجاد مشتقة دالة ما ، قام نيوتن بتغيير الدالة المعطاة بمتسلسلة قوى لانهائية

أي بإبدال الدالة بالعبارة :

${a}_{0} + {a}_{1}{x}^{1} + {a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}{x}^{3}+.....+ {a}_{n}{x}^{n} + ....$

مثال : أبدل نيوتن الدالة $\frac{1}{1+x}$ بالعبارة :

$1 - x + x^2 - x^3 + .......... + (-1)^n x^n + ......$

و كتب النتيجة على الصورة (1):

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + .......... + (-1)^n x^n + .....(1)$

و لكي يفك الدوال في متسلسلات لانهائية ، استخدم طرقا مختلفة فطبق

مثلا العلاقة :

$(1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{1\times2}x^2 + \frac{m(m-1)(m-2)}{1\times2\times3}x^3 + ......$

و التي استنتجها بليز باسكال الفيلسوف الفرنسي الشهير و عالم الرياضيات

(1623 - 1662) لقيم m الموجبة ، و لكن نيوتن اجراها على قيم m السالبة

و الكسرية ، عندئذ يزداد عدد الحدود إلى عدد لانهائي

عندما تكون m = -1 ، نحصل على العلاقة (1) أعلاه ، و عندما تكون m = -2

نحصل على العلاقة (2) :

$\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + .......(2)$

كان نيوتن يفهم ان نتائجه غير دقيقة و لذلك كان يجريها بالأمثلة ،

لإيجاد المشتقة فاضل نيوتن حدود العبارة (1) كلا منها على حدة ( لم يكن نيوتن

يعرف أن النظرية المتعلقة بمشتقة حاصل الجمع يمكن ان تكون غير صحيحة

بالنسبة لعدد الحدود المتزايد إلى ما لانهاية ، و بالمناسبة فإن هذه النظرية

عندما تكون قيم x صغيرة صغرا كافيا ، صحيحة للمتسلسلات على الصورة (1)

أي انه لم تحدث أخطاء ) و بمقارنة المشتقة مع (2) نجد ان :

$\left[ \frac{1}{(1+x)}\right]' = \frac{-1}{(1+x)^2}$

تسمح الدوال التي كانت معروفة في القرن الثامن عشر ، بفك الدالة في

متسلسلة تايلور و لم يشك علماء الرياضيات أن كل دالة متصلة يمكن أن تكتب

على صورة مفكوك لمتسلسلة تايلور ، غير انهم تحسسوا الحاجة إلى

تقدير دقيق للخطأ الذي تعطيه علاقة تايلور إذا

ما توقفنا فيها عند الحد :

$\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n$

استنتج لاجرانج في عام 1779 باقي متسلسلة تايلور

أي R_n:

${R}_{n}= \frac{f^n({x}_{0})}{n!}(x-a)^n ;a \prec {x}_{0}\prec x$

بعد مرور ربع قرن أثبت كوشى صحة هذه العلاقة كما استنتج علاقة جديدة

تعطي الباقي

لذلك اوردنا كلمة أدق عند الحديث عن متسلسلة تايلور أو صيغة ماكلورين

الآن قبل ان نكمل : هل من طريقة تدلنا على إمكانية أيجاد تكامل بواسطة علاقة

بين دوال اولية (بسيطة) أم لا ؟

بمعنى آخر ، هل من طريقة لنعرف أن التكامل قابل للحل بحدود غير منتهية ؟

الجواب : نعم

و هذا موضوع المشاركة المقبلة

17-08-2007, 07:06 PM

سنجيب في هذه المشاركة عن السؤال :

لماذا بعض التكاملات مثل : غير أولية

و البعض الآخر أولي مثل :

سأعطيكم جوابا سريعا ، نظرية تشيبيشييف Chebyshev's Theorem -1853:

إذا كان p , q , r أعدادا نسبية و a , b أعدادا حقيقية بحيث

a , b ,r غير منعدمة (لا تساوي الصفر ) فإن :

$\int{x^p(a+bx^r)^q dx}$

يكون أولي (يمكن التعبير عنه بعلاقة بين دوال اولية بسيطة ) إذا و فقط إذا

واحد من :

$\frac{p+1}{r} , q , \frac{p+1}{r}+q$

على الأقل هو عدد صحيح

كيف يمكن استخدام هذه النظرية لتعليل الجملة الواردة أعلاه ؟

غير أولية ، نستطيع رؤية ذلك بالتعويض ، مثلا نضع sinx = u

du = cosx dx ،

${\huge cosx = \sqrt{1-sin^2 x}= \sqrt{1-u^2}= (1-u^2)^{\frac{1}{2$
و يصبح التكامل :

$\int{u^{\frac{1}{2}}(1-u^2)^{\frac {-1}{2}} du}$

هنا :

$p = \frac{1}{2}, r = 2 , q =\frac{-1}{2}$

$\frac{p+1}{r} = \frac{3}{4} , q =\frac{-1}{2},\frac{p+1}{r}+q = \frac{1}{4}$

و لا واحد عدد صحيح ، إذا التكامل غير أولي

بالنسبة لـ :

هو اولي ، يمكنك أن تجرّب ( u² = tanx )

أسئلة :

حدد نوع التكامل ( أولي أم غير أولي ، أرجو أن تحلوها) لكل من التكاملات التالية :

$\int{\sqrt[3]{1+x^2}dx}$

السؤال الآن : هل هذه النظرية تصنّف جميع التكاملات إلى اولي و غير اولي

مثلا

$\int{\sqrt{lnx}dx}$

الجواب لا ، و للحديث بقية

17-08-2007, 10:18 PM

موضوع شيق و نادر

لك جزيل شكري استاذي الفاضل

18-08-2007, 11:15 AM

شكرا أخي حمودي ،

حسنا كيف نحدد إذا ما كان

$\bf \int{\sqrt{lnx}dx}$

أوليا أم لا ؟

كان (Joseph Liouville (1809 - 1882 ، عالم الرياضيات الفرنسي أول من

تطرّق لموضوع إثبات أن التكاملات غير أولية و ذلك عبر وضع نظرية (عام 1835)

عرفت باسمه ( النظرية التالية هي حالة خاصة مما يعرف بـنظرية لوافيل القوية ):

إذا كانت و دوال نسبية ( Rational Functions ) حيث غير ثابتة ( Not constant ) ، يكون :

، أوليا (Elementary ) ، إذا و فقط إذا (If and only if ) وجدت

دالة نسبية تحقق الشرط التالي :

نتيجة 1 :التكامل

$\bf \int{x^{2n} e^{ax^2}dx}$

هنا $f(x)= x^{2n} , g(x) = ax^2 , a\neq 0$

يمكن إثبات أنه لا يمكن إيجاد دالة نسبية تحقق شرط النظرية :

$x^{2n} = R'(x)+ g'(x)R(x)= R'(x)+2axR(x)$

و عليه كل التكاملات على الصورة $\bf \int{x^{2n} e^{ax^2}dx}$ غير أولية

(عندما تكون n = 0 و a = -1 نحصل على دالة الخطأ - error function التي سنتحدث عنها لاحقا )

هذه النتيجة مفيدة جدا و يمكن استخدامها لبرهان ان تكاملا ما ليس أوليا

بواسطة تحويله إلى الصورة $\int{t^{2n}e^{at^2}dt}$

الآن بإمكاننا إجابة السؤال المطروح في بداية المشاركة :

$\int{\sqrt{lnx}dx}$

نضع t² = lnx

$2t dt = \frac{dx}{x}$

و

يصبح التكامل :

$\int{\sqrt{lnx}dx}= \int{2t^2 e^{t^2}dt}$

و هو على الصورة الواردة في النتيجة 1 أعلاه ، أي انه غير اولي

نتيجة 2 :التكامل

$\int{x^{-n} e^{ax}dx}$

حيث n عدد صحيح موجب و a غير منعدمة

تكامل غير أولي لأنه يمكن إثبات أنه لا توجد دالة نسبية تحقق شرط النظرية :

$x^{-n} = R'(x)+ g'(x)R(x)= R'(x)+aR(x)$

مثال :

$\int{\frac{1}{lnx}}dx$

غير أولي لانه يمكن كتابته على الصورة الواردة في النتيجة 2 و ذلك باستخدام

التعويض : t = lnx ، ليصبح التكامل :

$\int{\frac{e^t}{t}}dt = \int{t^{-1} e^t}dt$

أسئلة: استخدم التعويض لتحويل التكاملات التالية إلى الصيغ الواردة في النتيجتين 1 و 2 أعلاه لإثبات أن هذه التكاملات غير أولية :

$\int{\frac{1}{\sqrt{lnx}}}dx$

$\int{e^{e^{x}}dx}$

$\int{\frac{e^x}{\sqrt{x}}dx}$

$\int{ln(lnx)dx}$
(استخدم التكامل بالتجزىء - By parts أولا )

و للحديث بقية .......

18-08-2007, 03:31 PM

زادك الله علما استاذنا
افض علينا مما انعم الله عليك
جزاك الله خيرا - ننتظر البقية


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة