أوجد قيمة التكامل (24)

19-08-2009, 03:46 AM

$\int_{{0}_{+}}^{1}\frac{{x}^{x}({x}^{2x}+1)(\ln x+1)}{{x}^{4x}+1}dx$

20-08-2009, 03:22 PM

الإجابة صفر وتفاصيلها لاحقاً

20-08-2009, 07:28 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة uniquesailor [ مشاهدة المشاركة ]

الإجابة صفر وتفاصيلها لاحقاً

الجواب صحيح في انتظار تفاصيل الحل......

25-08-2009, 06:28 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mourad24000 [ مشاهدة المشاركة ]

$\int_{{0}_{+}}^{1}\frac{{x}^{x}({x}^{2x}+1)(\ln x+1)}{{x}^{4x}+1}dx$

أستاذي ،، حاولت ولم أتوصل إلى الصفر
فهل هناك خطأ في استخدام التعويض

$\\ {\color{red} \int_{{0}_{+}}^{1}\frac{{x}^{x}({x}^{2x}+1)(\ln x+1)}{{x}^{4x}+1}dx} \\ \\ \\ {\color{blue} let \;\; y= x^x} \\ \\ lny =xlnx \\ \\ \frac{dy}{y} = (lnx+1)dx \\ \\ dx = \frac{dy}{x^x(lnx+1)} \\ \\ \int_{0}^{1} \frac{y^2+1}{y^4+1}dy \\ \\y^4+1 = y^4+2y^2+1-2y^2= (y^2+1)^2-2y^2=(y^2+1-\sqrt2y)(y^2+1+\sqrt2y) \\ \\ \int_{0}^{1} \frac{y^2-\sqrt2y+1+\sqrt2y}{(y^2+\sqrt2y+1)(y^2-\sqrt2y+1)}dy \\ \\ \int_{0}^{1} \left( \frac {1}{y^2+\sqrt2y+1} + \frac{\sqrt2y}{y^4+1} \right ) dy \\ \\ \int_{0}^{1} \frac {dy}{(y+\frac{\sqrt2}{2})^2+\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt2}\int_{0}^{1} \frac{2y}{1+y^4} dy \\ \\ \sqrt2 \int_{0}^{1} \frac{\sqrt2 dy} {1+(\sqrt2 y+1)^2} + \frac{1}{\sqrt2}\int_{0}^{1} \frac{2ydy}{1+y^4} \\ \\ = \left [ \sqrt2 tan^{-1} (\sqrt2 y+1) + \frac{1}{\sqrt2} tan^{-1} y^2 \right ]_0^1 \\ \\= \sqrt2 tan^{-1} (\sqrt2 +1)-\sqrt2 tan^{-1} 1 + \frac{1}{\sqrt2} tan^{-1} 1 - \frac{1}{\sqrt2} tan^{-1} 0$

$\\= \sqrt2 tan^{-1} (\sqrt2 +1) + \frac{\pi}{4} \left ( \frac{1}{ \sqrt2} -\sqrt2 \right ) \\ =\sqrt2 tan^{-1} (\sqrt2 +1) - \frac{\pi\sqrt2}{8}$

25-08-2009, 06:36 PM

دقيقة ،، كأني عرفت الخطأ

بعد التعويض :
0+^0+ = 1
إذن التكامل من 1 إلى 1 فيساوي صفر

هل الأمر هكذا ام هناك مشكلة أخرى ؟؟؟؟؟؟

25-08-2009, 07:43 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة طالبة [ مشاهدة المشاركة ]

أستاذي ،، حاولت ولم أتوصل إلى الصفر
فهل هناك خطأ في استخدام التعويض

$\\ {\color{red} \int_{{0}_{+}}^{1}\frac{{x}^{x}({x}^{2x}+1)(\ln x+1)}{{x}^{4x}+1}dx} \\ \\ \\ {\color{blue} let \;\; y= x^x} \\ \\ lny =xlnx \\ \\ \frac{dy}{y} = (lnx+1)dx \\ \\ dx = \frac{dy}{x^x(lnx+1)} \\ \\ \int_{0}^{1} \frac{y^2+1}{y^4+1}dy \\ \\y^4+1 = y^4+2y^2+1-2y^2= (y^2+1)^2-2y^2=(y^2+1-\sqrt2y)(y^2+1+\sqrt2y) \\ \\ \int_{0}^{1} \frac{y^2-\sqrt2y+1+\sqrt2y}{(y^2+\sqrt2y+1)(y^2-\sqrt2y+1)}dy \\ \\ \int_{0}^{1} \left( \frac {1}{y^2+\sqrt2y+1} + \frac{\sqrt2y}{y^4+1} \right ) dy \\ \\ \int_{0}^{1} \frac {dy}{(y+\frac{\sqrt2}{2})^2+\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt2}\int_{0}^{1} \frac{2y}{1+y^4} dy \\ \\ \sqrt2 \int_{0}^{1} \frac{\sqrt2 dy} {1+(\sqrt2 y+1)^2} + \frac{1}{\sqrt2}\int_{0}^{1} \frac{2ydy}{1+y^4} \\ \\ = \left [ \sqrt2 tan^{-1} (\sqrt2 y+1) + \frac{1}{\sqrt2} tan^{-1} y^2 \right ]_0^1 \\ \\= \sqrt2 tan^{-1} (\sqrt2 +1)-\sqrt2 tan^{-1} 1 + \frac{1}{\sqrt2} tan^{-1} 1 - \frac{1}{\sqrt2} tan^{-1} 0$

$\\= \sqrt2 tan^{-1} (\sqrt2 +1) + \frac{\pi}{4} \left ( \frac{1}{ \sqrt2} -\sqrt2 \right ) \\ =\sqrt2 tan^{-1} (\sqrt2 +1) - \frac{\pi\sqrt2}{8}$

أستاذة الفاضلة حلك صحيح بقي في الأخير أنه عندالتحويل فإن حدود التكامل تتغير يبدو أنك تفطنتي للخطأ

بارك الله فيكي على هذا الحل المبدع و كل عام و انت بخير

26-08-2009, 03:30 AM

السلام عليكم
ألا يمكن الحل باستعمال الرواسب

26-08-2009, 03:43 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة hichammed [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم
ألا يمكن الحل باستعمال الرواسب

و عليكم السلام و رحمة الله
يمكن ذلك أخي الكريم فإن كنت تعرف الطريقة فتفضل و اتحفنا بالحل حتى تعم الفائدة


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة