دوال الكسور الجبرية

أوجد أصفار الدالة :

1) د ( س ) = س2 ــ 16

2) د ( س ) = ــ13

3) د ( س ) = ( س ــ 1 ) / س ( س ــ 3 )

4) د ( س ) = س2 + 1

5) د ( س ) = ( س3 ــ 8 ) / ( س2 + 4 )

6) د ( س ) = س ( س ــ 1 ) ( س2 + 1 )

أوجد مجال الدالة :

1) د ( س ) = 5 / س

2) د ( س ) = ( س ــ 2 ) / ( س2 + 9 )

3) د ( س ) = ( س3 ــ 8 ) / 4

أوجد المجال المشترك لكل من الدالتين :

1) د ( س ) = ( س + 1 ) ( س2 + 4 ) ، ( س2 + 3 ) / 4

2) د ( س ) = س / (س + 1 ) ، ( س ــ 2 ) / س

3) د ( س ) = 1/ س ، ( 3 س ــ1 ) / س ( س ــ 1 )

* إذا كان مجال الدالة د ( س ) = ( س + 5 ) / ( س ــ أ ) هو ح ــ { ــ 2 } . أوجد :

قيمة أ ؟ هل د ( س ) لها معكوس ضربي ؟
* إذا كان مجال الدالة د حيث د ( س ) = (س + ب ) / ( س + أ ) هو ح ــ { ــ 2 } ،
د ( 0 ) = 3 . فأوجد قيمة أ ، ب ؟

* أثبت أن ن++1 ( س ) = ن2 ( س ) حيث أن :

ن1 ( س ) = ( س ــ 1 ) / ( س2 ــ 4 س + 3 )

ن2 ( س ) = ( س ــ 2 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )

* إذا كان ن1 ( س ) = ( س2 + 2 س ــ 3 ) / ( س2 + 5 س + 6 ) ،

ن2 ( س ) = ( س2 ــ 3 س + 2 ) / ( س2 ــ 4 ) . هل ن1 = ن2 ؟

* أوجد مجال المعكوس الضربي للدالة د ( س ) = 5 س / ( س ــ 8 ) .

* أوجد مجال المعكوس الجمعي للدالة د ( س ) = 5 / ( س2 ــ 1 ) .

* إذا كان د ( س ) = ( س2 ـــ 1 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )

1) متي تكون د ( س ) ليس لها معني ؟

2) متي تكون د ( س ) = صفر ؟

3) أوجد مجال د-1 ( س) .
جمع و طرح الكسورالجبرية

أوجد د ( س ) في أبسط مبينا مجالها حيث :

1) د ( س ) = [( س2 ــ 2 س + 4 ) / ( س3 + 8 )] +[ ( س2 ــ 1 ) / س2 + س ــ 2 )]

2) د ( س ) =[ ( س + 5 ) / ( س2 + 7س + 10 ) ]ــ [( س ــ 1 ) ( س2 + 5 س + 6 )]

3) د ( س ) = [ 2 / ( س2 + 4س + 3 ) ] + [( 4س ) / ( س3 ــ 2س2 – 3س )]

4) د ( س ) = [ 3 / ( س ــ 2 ) ] + [ 1 / ( س + 2 )]

5) د ( س ) = [( س + 5 ) / ( س2 ـــ 5 س ) ] ـــ [( 3 + 2س ــ س2 ) / 5 + 4س ــ س2 )]

6) د ( س ) = [( س2 ــ 2 س + 4 ) / ( س3 + 8 )] ـــ [ ( 9 ــ س2 ) / ( س2 ــ س ــ 6 )]

7) د ( س ) = [( س2 + 3س ) / ( س2 +2س ــ 3 )] ـــ [( س ــ 2 ) / ( س2 ــ 3س + 2 )]

د( س ) = [( 3 س + 15 ) / ( س2 + 7س + 10 ) ]+[ ( 2س + 1 ) / ( س + 2 ) ]

9) د ( س ) = [( س + 2 ) / س ] ـــ [ س / ( س ــ 2 ) ]

10) د(س) = [ ( س2 ــ 1 ) / ( س2 ــ 3س + 2 )] ـــ [( س ــ 5 ) / ( 2 ــ س ) ]
ضرب و قسمة الكسور الجبرية


* أوجد د ( س ) في أبسط صورة مبينا مجالها حيث :

1) د (س) =[ ( س3 ــ 8 ) / ( س2 ــ 4س + 4 ) ]× [( 3س2 ــ س ــ 10 ) / ( س2 + 2س + 4 ) ]

2) د (س) = [ ( س2 ــ 2س ــ 3 ) / ( س3 ــ 27 ) ]÷ [( 5 س + 5 ) / ( س2 + 3س + 9 )]

3) د (س) =[ ( س2 ــ 12 س + 36 ) / ( س2 ــ 6س ) ]÷ [( 36 ــ س2 ) / ( 4س + 24 )]

4) د (س) = [(س2ــ16) / ( س ــ 8)] ×[( س ــ 7) / (2 س+ 8)] ÷ [( س2 ـ 49)/ ( س2– س ـ56)]

5) د (س) =[ ( 2س ــ 6 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )] ÷ [( 3س + 9 ) / ( س2 + س ــ 6 )]

6) د (س) =[ ( 3س ــ 15 ) / ( س + 3 ) ]÷ [( 12س + 18 ) / ( 4س + 12 )]

7) د (س) = [( 2س2 ــ 5 س ) / (س2 ــ 4) ]×[ ( 2س ــ 9س + 10 ) / ( 4س2 ــ 20س + 25 )]

8) د (س) = [( س2 + 3س + 2 ) / ( 2س + 4 )] × [2 / ( س + 1)2 ]

9) د (س) = [( 3س2 ــ 6س) / ( س2 ــ 4) ]÷ [( س2 + س ) / ( س2 + 3س + 2 )]

10) د (س) = [( 4س2 + 24 س ) / س2 ــ 36)] ÷ [ ( س2 ــ 6س ) / ( س2 ــ 12س + 36 )]


* أوجد د ( س ) في أبسط صورة مبينا مجالها حيث :

1) د (س) =[ ( س3 ــ 8 ) / ( س2 ــ 4س + 4 ) ]× [( 3س2 ــ س ــ 10 ) / ( س2 + 2س + 4 ) ]

2) د (س) = [ ( س2 ــ 2س ــ 3 ) / ( س3 ــ 27 ) ]÷ [( 5 س + 5 ) / ( س2 + 3س + 9 )]

3) د (س) =[ ( س2 ــ 12 س + 36 ) / ( س2 ــ 6س ) ]÷ [( 36 ــ س2 ) / ( 4س + 24 )]

4) د (س) = [(س2ــ16) / ( س ــ 8)] ×[( س ــ 7) / (2 س+ 8)] ÷ [( س2 ـ 49)/ ( س2– س ـ56)]

5) د (س) =[ ( 2س ــ 6 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )] ÷ [( 3س + 9 ) / ( س2 + س ــ 6 )]

6) د (س) =[ ( 3س ــ 15 ) / ( س + 3 ) ]÷ [( 12س + 18 ) / ( 4س + 12 )]

7) د (س) = [( 2س2 ــ 5 س ) / (س2 ــ 4) ]×[ ( 2س ــ 9س + 10 ) / ( 4س2 ــ 20س + 25 )]

8) د (س) = [( س2 + 3س + 2 ) / ( 2س + 4 )] × [2 / ( س + 1)2 ]

9) د (س) = [( 3س2 ــ 6س) / ( س2 ــ 4) ]÷ [( س2 + س ) / ( س2 + 3س + 2 )]

10) د (س) = [( 4س2 + 24 س ) / س2 ــ 36)] ÷ [ ( س2 ــ 6س ) / ( س2 ــ 12س + 36 )]

حل معادلتين في متغيرين احداهما من الأولي و الآخري من الثانية


1) س + ص = 5 ، س2 + ص2 = 13

2) س + ص = 7 ، س2 + ص2 ــ س ص = 19

3) س + 2ص = 5 ، س2 ــ س ص + ص2 = 3

4) ص = 3 + س ، س2 + ص2 = 17

5) س + ص = 3 ، س ص ــ 2 = 0

6) س ــ 3 ص ــ 1 = 0 ، س2 ــ 2 س ص + 9 ص2 = 17

7) 2 س ــ 3 ص = 0 ، س ص = 54

مستطيل طوله س و عرضه ص و مساحته 77 سم2 ، إذا نقص طوله بمقدار 2 سم، زاد عرضه بمقدار 2سم لأصبح مربع . أوجـــد بعدي المستطيل ؟

9) عددان مجموعهما الواحد الصحيح ، و مجموع مربعيهما 41 فما هما العددان ؟

10 ) عددان مجموعهما 8 و حاصل ضربهما 12 فما هما العددان
أختبار علي الفصل الدراسي الثاني
(1) أكمل ما يأتي :-
1) مجال د ( س ) = ( س2 ــ 16 ) / ( س3 ــ 64 ) هو ………….

2) إذا كان المعكوس الضربي للكسر ( س2 + س ــ 6 ) / ( س2 + حـ س ) هو

س / ( س ــ 2 ) فإن حـ = ……..

3) عدد إذا أضيف لمربعه كان الناتج 56 فإن العدد هو ……….

4) مجموعة أصفار مقام الدالة د ( س ) = ( 2 س ــ 10 ) / ( س2 ــ 25 ) هي ……..

5) إذا كان ( حـ2 ، 1 ) حل للمعادلة 2س ــ ص = 31 فإن حـ = ……….

6) إذا كان د ( س ) = ( س + حـ ) / ( س ــ ب ) ، المجال = ح ــ { 4 }،

د ( 0 ) = 1/2 فإن حـ = …….. ، ب = ………

(2) 1) حل المتباينة 7 > 3 ــ 2س > ــ 3 حيث س ' ح ، مع تمثيلها بيانيا .

2) اختصر مبينا المجال :

ن(س)=[(س2ـ 3س ــ4) / (س2 ــ1) ÷(س2+ 3س) / (س2 ــ س) ــ (7س ــ 21) / (9ــ س2)

(3) 1) حل المعادلتين :

ص ــ س = ــ 4 ، س ص = 96

2) إذا كان منحني الدالة د ( س ) = س2 + 5 س + حـ يقطع محور السينات عند س = 2

، س = هـ . فأوجد قيمتي حـ ، هـ حيث هـ عدد سالب .

(4) 1) أذكر عدد حلول المعادلتين :

س + ص = 2 ، 5 س + 5 ص = 10

2) أوجد في أبسط صورة مبينا المجال :

ن (س) = ( س2 + 3س + 9 ) / ( س3 ــ 27) ــ ( س2 ــ س ــ 12) / ( 9 ــ س2 )

(5) 1) عددان نسبيان مجموعهما 62 و الفرق بينهما 12 فما هما العددان ؟

2) أوجد في أبسط صورة مبينا المجال :

ن(س) = (2س + 6) / ( س2 + 2س + 4 ) ÷ ( س2+ س ــ 6 ) / ( س3 ــ 8 )

 

 

س^2 - 16 = صفر

( س - 4 ) ( س + 4 ) = صفر

س = 4 أو س = - 4

مجموعة الأصفار = { 4 ، - 4 }

 

 

د ( س ) = ــ13



دالة ثابته لاتوجد قيمة حقيقية تجعلها = صفر

مجموعة الاصفار = فاي



د ( س ) = ( س ــ 1 ) / س ( س ــ 3 )

س - 1 = 0 ===> س = 1

د ( س ) = س2 + 1
مجموعة الأصفار = فاي

 

 

د ( س ) = ( س3 ــ 8 ) / ( س2 + 4 )

س^3 - 8 = صفر ==========> س = 2

د ( س ) = س ( س ــ 1 ) ( س2 + 1 )

الأصفار : س = 0 أو س = 1

) د ( س ) = 5 / س
المجال = ح - { 0}


2) د ( س ) = ( س ــ 2 ) / ( س2 + 9 )
المجال = ح


3) د ( س ) = ( س3 ــ 8 ) / 4
المجال = ح
أوجد المجال المشترك لكل من الدالتين :

1) د ( س ) = ( س + 1 ) ( س2 + 4 ) ، ( س2 + 3 ) / 4
المجال المشترك = ح
2) د ( س ) = س / (س + 1 ) ، ( س ــ 2 ) / س
ح - { -1 , 0}

3) د ( س ) = 1/ س ، ( 3 س ــ1 ) / س ( س ــ 1 )
ح - { 0, 1}

 

 

* إذا كان مجال الدالة د ( س ) = ( س + 5 ) / ( س ــ أ ) هو ح ــ { ــ 2 } . أوجد :

قيمة أ ؟ هل د ( س ) لها معكوس ضربي ؟


مجال الدالة الأصلية = ح - { أ }

المجال المعطي للدالة = ح - { - 2 } أذن أ = - 2

لكي يكون للدالة نظيرا ضربيا ً ينبغي أن يكون المجال = ح - { - 5 ، - 2 }

وبالتالي هذا لايتفق مع المجال المعطي إذن لايوجد نظير ضربي للدالة

 

 

* إذا كان مجال الدالة د حيث د ( س ) = (س + ب ) / ( س + أ ) هو ح ــ { ــ 2 } ،
د ( 0 ) = 3 . فأوجد قيمة أ ، ب ؟


مجال الدالة = ح - { - أ }

المجال المعطي = ح - { - 2 }

أذن أ = 2 وهذا أول مطلوب

د ( 0 ) = 3

3 = ب / أ ===> ب = 3 × 2 = 6

 

 

أثبت أن ن1 ( س ) = ن2 ( س ) حيث أن :

ن1 ( س ) = ( س ــ 1 ) / ( س2 ــ 4 س + 3 )

ن2 ( س ) = ( س ــ 2 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )
الحل
ن1 ( س ) = ( س ــ 1 ) / ( س ــ 3 ) ( س - 1 )

ن1 ( س ) = ( س ــ 1 ) / ( س ــ 3 ) ( س - 1 )

مجال ن1 = ح - {3, 1 }

مجال ن2 = ح - {3 , 2 }

ن1 ( س ) = 1/ ( س ــ 3 )
ن2 ( س ) = 1/ ( س ــ 3 )

ن1 = ن2 في المجال ح - {3 , 2, 1 }

 

 

* إذا كان ن1 ( س ) = ( س2 + 2 س ــ 3 ) / ( س2 + 5 س + 6 ) ،

ن2 ( س ) = ( س2 ــ 3 س + 2 ) / ( س2 ــ 4 ) . هل ن1 = ن2 ؟

ن1 ( س ) = ( س + 3 ) ( س - 1 ) / ( س + 2 ) ( س + 3 )

المجال = ح - { - 2 ، - 3 }

ن 1 ( س ) = ( س - 1 ) / ( س + 2 ) لكل س تنتمي لـ ح - { -2 ، - 3 }


ن2(س ) = ( س - 2 ) ( س - 1 ) / ( س - 2 ) ( س + 2 )

المجال = ح - { 2 ، - 2 }

ن2 ( س ) = ( س - 1 ) / ( س + 2 ) لكل س تنتمي لـ ح - { 2 ، - 2 }

من الواضح أن ن 1 ( س ) لاتساوي ن 2 ( س ) نظرا ً لأختلاف المجال

ولكن يحدث التساوي بينهما إذا كان المجال المشترك لهما ح - { 2 ، - 2 ، - 3 }

 

 

أوجد مجال المعكوس الضربي للدالة د ( س ) = 5 س / ( س ــ 8 ) .
مجال المعكوس الضربي للدالة هو ح - { 0 ، 8 }

* أوجد مجال المعكوس الجمعي للدالة د ( س ) = 5 / ( س2 ــ 1 ) .
مجال المعكوس الجمعي للدالة هو ح - { 1, - 1}

 

 

إذا كان د ( س ) = ( س2 ـــ 1 ) / ( س2 ــ 5 س + 6 )

1) متي تكون د ( س ) ليس لها معني ؟

2) متي تكون د ( س ) = صفر ؟

3) أوجد مجال د-1 ( س) .




د ( س ) = ( س - 1 ) ( س + 1 ) / ( س - 2 ) ( س - 3 )

تكون د ( س ) ليس لها معني أو غير معرفه

إذا كانت س = 2 أو س = 3

تكون د ( س ) = صفر إذا كان س = 1 أو س = - 1 بشرط

لكل س تنتمي لـ ح - { 2 ، 3 }

مجال النظير الضربي = ح - { 1 ، - 1 ، 2 ، 3 }