الجبر هو فرع من الرياضيات، يمكن تعريفه على انه تعميم وتوسيع للحساب، يمكن تقسيم علم الجبر الى:
الجبر الابتدائي، و فيه يتم دراسة خصائص الاعداد الحقيقية، و تستخدم رموز للتعبير عن المتحولات و الثوابت، و تتم دراسة القواعد التي تضبط المعادلات و التعابير الرياضية المكونة من هذه الرموز.
الجبر المجرد، و فيه تتم دراسة البنى الجبرية كالمجموعة، الحلقة، و الحقل، الحالة الخاصة من الحقل و هي الفضاء الشعاعي، يتم دراستها في الجبر الخطي.
الجبر الشامل، و فيه تتم دراسة الخواص العامة لكل البنى الجبرية.
الجبر الخطي : يدرس الخواص المميزة للفضاءات الشعاعية بما فيها المحددات و المصفوفات .
جبر الحاسوب، و فيه تتم دراسة الخوارزميات الخاصة بالتعامل مع الكائنات الرياضية.
وسوف أقوم بشرح كل نوع بإذن الله وقبل ذلك أود التعريف بمؤسس علم الجبر :
محمد بن موسى الخوارزمي:
أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي (أبو جعفر) (حوالي 781- حوالي 845 )، كان من اوائل علماء الرياضيات حيث ساهمت اعماله بدور كبير في تقدم الرياضيات في عصره.
ولد الخوارزمي في مدينة خوارزم في خراسان، وهي اقليم في بلاد فارس (تعرف المنطقة حاليا باوزبكستان). انتقلت عائلته بعد ولادته بفترة قصيرة الى بغداد في العراق، انجز الخوارزمي معظم ابحاثه بين عامي 813 و 833 في دار الحكمة، التي أسسها الخليفة المأمون. و نشر اعماله باللغة العربية، التي كانت لغة العلم في ذلك العصر. ويسميه الطبري في تاريخه: محمد بن موسى الخوارزمي المجوسي القطربلّي ، نسبة إلى قرية قُطْربُلّ من ضواحي بغداد. اللقب مجوسي يتناقض مع بدء الخوارزمي لكتابه (الجبر والمقابلة) بالبسملة.
ابتكر الخوارزمي مفهوم الخوارزمية في الرياضيات و علم الحاسوب، (مما اعطاه لقب ابي علم الحاسوب عند البعض)، حتى ان كلمة خوارزمية في العديد من اللغات (و منها algorithm بالانكليزية) اشتقت من اسمه، بالاضافة لذلك، قام الخوارزمي باعمال هامة في حقول الجبر و المثلثات والفلك و الجغرافية و رسم الخرائط. ادت اعماله المنهجية و المنطقية في حل المعادلات من الدرجة الثانية الى نشوء علم الجبر، حتى ان العلم اخذ اسمه من كتابه حساب الجبر و المقابلة، الذي نشره عام 830، و انتقلت هذه الكلمة الى العديد من اللغات (Algebra في الانكليزية).
اعمال الخوارزمي الكبيرة في مجال الرياضيات كانت نتيجة لابحاثه الخاصة، الا انه قد انجز الكثير في تجميع و تطوير المعلومات التي كانت موجودة مسبقا عند الاغريق و في الهند، فاعطاها طابعه الخاص من الالتزام بالمنطق. بفضل الخوارزمي، يستخدم العالم الاعداد العربية التي غيرت و بشكل جذري مفهومنا عن الاعداد، كما انه قذ ادخل مفهوم العدد صفر، الذي بدأت فكرته في الهند.
صحح الخوارزمي ابحاث العالم الاغريقي بطليموس Ptolemy في الجغرافية، معتمدا على ابحاثه الخاصة. كما انه قد اشرف على عمل 70 جغرافيا لانجاز اول خريطة للعالم المعروف آنذاك. عندما اصبحت ابحاثه معروفة في أوروبا بعد ترجمتها الى اللاتينية، كان لها دور كبير في تقدم العلم في الغرب، عرف كتابه الخاص بالجبر اوروبة بهذا العلم و اصبح الكتاب الذي يدرس في الجامعات الاوروبية عن الرياضيات حتى القرن السادس عشر، كتب الخوارزمي ايضا عن الساعة، الإسطرلاب، و الساعة الشمسية.
تعتبر انجازات الخوارزمي في الرياضيات عظيمة، و لعبت دورا كبيرا في تقدم الرياضيات و العلوم التي تعتمد عليها.
الجبر الابتدائي :
الجبر الإبتدائي هو ابسط انواع الجبر و هو الذي يشكل الفرع الذي يتعامل مع كثيرات الحدود و المعادلات و طرق ايجاد جذور المعادلات و طرق حلها .
قوانين الجبر الإبتدائي :
في التعابير الجبرية يتم اعتماد ترتيب العمليات كما يلي:
مجموعات الأقواس -> الرفع الى أس -> الضرب -> الجمع
الجمع عملية تبديلية.
الطرح عملية معاكسة للجمع.
تتحول عملية الطرح الى عملية جمع باستبدال العدد المطروح بنظيره أو العدد الموجب عدد سالب.
الضرب عملية تبديلية أيضا
القسمة هي عكس عملية الضرب
العملية الأسية ليس بعملية تبديلية .
بعض العمليات الأسية لها عمليات معاكسة: لوغاريتم و العمليات الأسية ذات الأسس الكسرية مثل الجذر التربيعي.
اللوغاريتميات :
اللوغاريتمات أرقام يُطلق عليها في علم الجبر اسم الأدلة أو الأُسس. ويستخدم الأُس للتعبير عن تكرار ضرب رقم واحد. فعلى سبيل المثال، يمكن كتابة 2×2×2 في هيئة 2^3. والرقم 3 في المعادلة: 2^3=8 هو الأُس، أما الرقم 2 فهو الأساس. وبمصطلحات اللوغاريتمات، فإن 3 هو لوغاريتم الرقم 8 للأساس 2. ويمكن كتابة هذه العبارة كما يلي: لو2 8 = 3. والمعادلة لو2 8= 3 هي أسلوب آخر للتعبير عن 2^3 = 8. وبصفة عامة، إذا كان أ^س = ب، إذًا س = لوأ ب.
استخدامات اللوغاريتمات:
الضرب. لضرب رقمين باستخدام اللوغاريتمات، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكل من الرقمين في الجدول، واجمع هذين اللوغاريتمين للحصول على لوغاريتم حاصل ضرب هذين الرقمين، ثم ابحث عن الرقم الذي يكون لوغاريتمه هو لوغاريتم حاصل ضرب الرقمين، مستخدمًا الجدول مرة أخرى.
القسمة. لقسمة رقم على آخر، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكلٍ من الرقمين في الجدول، واطرح لوغاريتم المقام من لوغاريتم البسط، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو لوغاريتم حاصل عملية الطرح هذه. هذا الرقم هو حاصل القسمة المطلوب.
رفع الرقم إلى قوة معينة. لكي ترفع رقمًا إلى قوة معينة، ابحث في الجدول عن لوغاريتم هذا الرقم واضرب هذا اللوغاريتم في أُس القوة، ثم ابحث في الجدول عن الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو نفس لوغاريتم حاصل عملية الضرب هذه. هذا الرقم هو القوة المطلوبة للرقم الأول.
إيجاد الجذر. لمعرفة جذر رقم ما، ابحث عن لوغاريتم الرقم في الجدول، واقسم هذا الرقم على أُس الجذر، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به مساويًا لحاصل عملية القسمة، ويكون هذا هو الجذر المطلوب للرقم. انظر: الجذر؛ الجذر التربيعي.
أنواع اللوغاريتمات
اللوغاريتمات العادية. أيُّ رقم موجب، بخلاف الرقم 1 يمكن أن يكون رقمًا أساسيًا للوغاريتمات. غير أن أكثر الأرقام مناسبة لأن يكون رقمًا أساسيًا هو الرقم 10، حيث إن أكثر أنظمة الأرقام شيوعًا هو النظام الذي رقمه الأساسي 10. ويطلق على لوغاريتمات الرقم الأساسي 10 اسم اللوغاريتمات العادية أو العشرية.
والفرق بين اللوغاريتمات العادية لعددين لهما نفس السياق الرقمي، مثل 247 و2,47، يكون برقم صحيح واحد فقط، فعلى سبيل المثال:
وهكذا، لا تختلف اللوغاريتمات العادية لـ 247 و2,47 سوى في الرقم الصحيح 2. وإذا قربنا هذه اللوغاريتمات إلى أقرب أربعة أرقام عشرية، نجد أن اللوغاريتم العادي لـ 2,47 هو 0,3927 .
وحيث إن الرقم 247 يقع بين 100 و1000، أي بين 10^2 و10^3، فإن لو 10 247 يقع بين لو10^2، ولو10^3؛ أي أن اللوغاريتم العادي للعدد 247 يقع في مكان ما بين 2، 3؛ وعلى هذا، يكون من الممكن تحديد الجزء المحتوي على الرقم الصحيح للو10 247، أو أي لوغاريتم عادي آخر، بعملية ذهنية.
وفي اللوغاريتمات العادية، يُطلق على الجزء المحتوي على الرقم الصحيح اسم العدد البياني، وعلى الجزء المحتوي على الرقم العشري اسم العدد العشري. ويؤدي تغيير موضع العلامة العشرية في أي سياق رقمي إلى تغيير العدد البياني دون العدد العشري. ولأن الرقم البياني يمكن تحديده بعملية ذهنية، فإن جداول اللوغاريتمات لا تسرد سوى الأعداد العشرية فقط.
اللوغاريتمات الطبيعية. يستخدم اختصاصيو الرياضيات والعلماء اللوغاريتمات الطبيعية.
واللوغاريتمات الطبيعية مفيدة في حساب التفاضل والتكامل، حيث يمكن إظهار العديد من المعادلات في أبسط الأشكال الممكنة باستخدام اللوغاريتمات.
نبذة تاريخية عن اللوغارتيميات :
نشر عالم الرياضيات الأسكتلندي جون نبيير أول بحث وجدول للوغاريتمات عام1614م. وقد اكتشف السويسري جوبست برجي اللوغاريتمات على نحو مستقل في نفس الوقت تقريبًا. وفي أوائل القرن السابع عشر، قدم الإنجليزي هنري برجز للرقم الأساسي 10، وبدأ في وضع جدول به 14 خانة للوغاريتمات العشرية، ثم أكمل الهولندي أدريان فلاك العمل الذي بدأه برجز.
وحوالي عام 1622م، وضع الإنجليزي إدموند جَنتر، تصورًا لفكرة كتابة الأعداد على مستطيلات رفيعة وفقًا للوغاريتم الخاص بكلٍ منها، وضربها وقسمتها عن طريق انزلاق مستطيل على الآخر. وتمثل هذه الفكرة أساس المسطرة المنزلقة.
استمر استخدام جداول برجزـ فلاك حتى تم وضع جداول لوغاريتمات عادية بها 20 خانة في بريطانيا في الفترة بين 1924 و1949م.
أما اليوم، فقد أدى استخدام الحواسيب والحاسبات الإلكترونية إلى إلغاء الحاجة إلى استخدام اللوغاريتمات في العمليات الحسابية. ومع ذلك، فإن اللوغاريتمات لها أهميتها في الأغراض النظرية.
الأسس والمعادلات الأسية :
2*5 = 2×2×2×2×2
حيث يسمى العدد 2 الأساس والعدد 5 الأس وبصورة عامة :
إذا كان أ عدداً حقيقياً وكان ن عدداً صحيحاً موجباً فإن :
أ*ن = أ×أ×أ ( ن مرة )
مثال : احسب قيمة كل مما يأتي :
3*4 , -2*5
3*4= 3×3×3×3 = 81
-2*5= -2×-2×-2×-2×-2 = -32
عند ايجاد قيمة كل من المقدارين 3*2×3*4 , 3*6
نلاحظ أن 9×81= 729
3*6= 729
أي أن 3*2×3*4=3*6
وبصورة عامة :
إذا كان أ عدداً حقيقياً وكان م,ن عددين صحيحين فإن : أ*م+أ*ن= أ*م+ن
مثال : 2*5+2*3= 2*5+3=2*8= 256
وأيضاً عند ايجاد قيمة المقدارين ( 3*5÷ 3*3 ) , 3*2
3*5÷3*3= 243÷27 =9
3*2= 9
أي أن 3*5÷3*3=3*2
بصورة عامة :
إذا كان أ عدداً حقيقياً غير الصغر , وكان م,ن عددين صحيحين فإن : أ*م÷أ*ن=أ*م-ن
مثال : احسب قيمة ما يلي :
5*9 ÷ 5*7 = 5*9-7 =5*2 = 25
وهناك العديد من القوانين الأسية وسوف أشرحها جميعها بإذن الله وانشاء الله يكون شرحي مفهوماً
عند حساب المقدارين ( 5*3)*2 , 5*6 نلاحظ أن :
(5*3)*2= 5*3×5*3 =5*3+3 =5*6
أي أن (5*3)*2 =5*6
وبصورة عامة :
إذا كان أ عدداً حقيقياً لا يساوي الصفر وكان م,ن عددين صحيحين فإن (أ*م)*ن=أ*م×ن
مثال :
احسب قيمة :
(2*4)*3 = 2*4×3 = 2*12
وكما نلاحظ ان (5×2)*3= 10*3=1000
وكذلك 5*3×2*3= 125×8=1000
وبصورة عامة فإن :
إذا كان أ,ب عددين حقيقيين غير الصفر وكام م عدداً صحيحاً فإن : (أ,ب)*م=أ*م×ب*م
سوف أقوم بعرض درس في الرياضيات يقوم على عنوان المنطق
المنطق : سنبدأ أولا بالعبارات فحياتنا مليئة بالعبارات
وتعرف العبارة بأنها جملة خبرية صائبة أو خاطئة وليس كليهما وهناك جمل تتضمن الصنفين فتعتبر ليست عبارة .
ثانياً : أدوات الربط ..........
1. أداة الربط ( و ) ورمزها ( ^ )
فهنالك أكثر من جمل خبرية وعبارات مكونة من أكثر من جملة خبرية وممكن الربط بأداة الربط
و وبالرياضيات ^
ثانياً : أداة الربط ( أو ) ورمزها 7
ثالثا : أداة الرط إذا كان ......فإن ....., رمزها ( ــــــ> ) ونتأمل العبارتين الاتيتين :
1. ف: نجح عمر في الامتحان
2. ن: قدم والد عمر هدية لعمر
أي يعني العبارة شرطية : اذا نجحت في الامتحانسوف تحصل على هدية
إذاً ف ــــــــــ> ن
يمكن التعبير عن العبارة الشرطية :
1. إذا كانت ف فإن ن .
2. ف تؤدي إلى ن .
3. ن فقط إذا ف .
4. ن شرط لازم ل ف .
رابعاً : أداة الربط ثنائية الشرط ( .... إذا وفقط إذا ....) ورمزها ( <ــــــــ> )
توضيح : إذا كانت ف,ن عبارتين فإن العبارة المركبة : (ف ـــــ>ن ) ^ (ن ــــــــ> ف)
تسمى عبارة ثنائية الشرط ويرمز لها بالرمز (ف<ــــــــــــ>ن ) وتقرأ ف إذا وفقط إذا ن
لقد قلنا عن العبارة وعرفناها سابقاً وسوف نتعرف الان على كيفية الحكم على صواب أو خطأ العبارة بقيمة الصواب لها وسوف نستخدم الرمز (ص) للدلالة على أن العبارة صائبة والرمز (خ) للدلالة على أن العبارة خاطئة .
مثال : أي الجمل الاتية تمثل عبارة وإذا كانت كذلك فما قيمة الصواب لها :
1. الربيع فصل من فصول السنة
2. عدد أيام شهر شباط 28 يوماً في السنة الكبيسة
3. هل السماء تمطر ؟
4. عكا مدينة ساحلية
5. ما هو تاريخ اليوم ؟
6. 5+2=4+4
7. مجموع قياسات زوايا المثلث 180 درجة ؟
الحل :
الجمل 1 , 4 , 7 عبارات وعليه فإن قيمة الصواب لها (ص)
الجمل 2 , 6 عبارات خاطئة وعليه فإن قيمة الصواب لها (خ) .
في حين أن الجمل 3 , 5 ليست عبارات ومن هنا ممكن الاستنتاج أن الجمل الاستفهامية ليست عبارات .
مثال آخر : حدد قيمة الصواب للعبارات الاتية :
ف: -5>-2
ن: 8=8
ل: العدد 1 أولي
م: مجموع الاعداد الصحيحة الطبيعية مجموعة الأعداد الصحيحة .
الحل : قيمة الصواب للهبارتين ف, ل هي (خ)
قيمة الصواب للعبارتين ن, م هي (ص)
نفي العبارة : ويمكننا أيضاً نفي العبارة فمثلاً:
ف : 2 عدد أولي
نفي العبارة ( ف ) يرمز له بالرمز ( ~ف )
أي تصبح العبارة : 2 ليس عدد أولي
ولا ننسى اداة الربط الشرطية : إذا كان ...فإن ....., رمزها (ـــــــــ> )
وسوف أقوم بتوضيح قيمة الصواب بالنسبة لهذه الأداة لانني لم أقم بذكره :
والتوضيح :
ف ...............ن ........................ف ـــــ>ن
ص..............ص...........................ص
ص..............خ.............................خ
خ...............ص...........................ص
خ...............خ.............................ص
مثال : إذا كانت العبارة ف : المثلث متساوي الأضلاع
ن: المثلث متساوي الزوايا
عبري أو عبر عن لاعبارات الاتية بالكلمات :
1. ف ــــــ> ن 2. ~ ن ـــ>~ ف 3. ~ ف7 ن
الحل :
1. ف ــــ> ن : إذا كان المثلث متساوي الأضاع فإنه متساوي الزوايا
2. ~ ن ــــ> ~ ف : إذا كان المثلث غير متساوي الزوايا فإنه غير متساوي الأضلاع
3. ~ ف7ن : إما ان المثلث غير متساوي الأضلاع أو أنه متساوي الزوايا
وسنقوم بعمل مثال معاكس :
لتكن ف: لدي وقت كافي
ن: أتلقى تدريبات رياضية
م: أضاعف دخلي
عبر بالرموز عن العبارات الاتيه :
1. إذا كان لدي وقت كافي فإنني إما سأعمل على مضاعفة دخلي أو أتلقى تدريبات رياضية
2. إذا ضاعفت دخلي أو كان لدي وقت كافي فإنني لن أتلقى تدريبات رياضية
3. إذا كان لدي وقت كافي فإنني سأتلقى تدريبات رياضية و إذا لم يكن لدي وقت كاف فإنني لن أضاعف دخلي .
الحل :
1. ف ـــــــ> ن ( م 7 ن )
2. ( م 7 ف ) ــــــــ> ~ ن
3. ( ف ـــــــ> ن ) ^ ( ~ ف ــــــــ> ~ م ) .
وأيضاً أداة الربط ثنائية الشرطية ( .....إذا وفقط إذا .....)ورمزها ( < ـــــــــ> )
تعريفها : إذا كانت ف,ن عبارتين فإن العبارة المركبة ( ف ــــــ>ن)^(ن ــــــ>ف)
تسمى ثنائية الشرطية ويرمز لها بالرمز ( ف<ــــــــ>ن ) وتقرأ (ف) إذا وفقط إذا (ن) .
وقيمة الصواب للعبارة ف<ـــــــــ>ن بالتوضيح :
ف......... ن........ ف ــــ> ن....... ن ـــــ> ف........................ف<ــــــ> ن
ص...........ص...........ص.................ص... ................................ص
ص...........خ.............خ.................... ص...................................خ
خ...........ص...........ص..................... .....................................خ
خ.............خ..............ص................. .ص....................................ص
ماذا لو تم تكافؤ العبارات ؟؟؟؟؟ وما هو تكافؤ العبارات ؟؟؟
الان سوف نرى كيف :
نتأمل الجدول الاتي :
ف.............ن.................ف _> ن , ~ ف 7 ن لهما نفس قيم الصواب المتناظرة للعبارتين ف , ن
وفي هذه الحالة نقول أن العبارتين ف____> ن , ~ ف 7 ن متكافئتان ويرمز لهما بالرمز :
ف ــــــ> ن =_ ~ ف7ن
تعريف : تكون العبارتان متكافئتان إذا كانت لهما نفس قيم الصواب لجميع الامكانات المتناظرة لمركباتهما .
مثال : أبين أن العبارتان ~(ف^ن) , ~ف7~ن متكافئتان ؟
الحل : نقوم بعمل جدول الصواب للعبارتين :
ف.........ن.........ف^ن........~(ف^ن)....... ~ف.........~ن......~ف7~ن
ص......ص..........ص.............خ............. .....خ...........خ..............خ
ص.......خ.............خ.............ص......... .......خ...........ص............ص
خ.........ص...........خ...............ص....... .........ص.......خ..............ص
خ.........خ.............خ................ص.... ............ص..........ص........خ
نلاحظ أن قيم الصواب لجميع الامكانيات لهما نفس قيم الصواب .
اسفة اخواتي سوف أعيد الجدول في بداية الدرس اعتذر لهذه الخطأ :
ف............ن............ف ـــــــ> ن...............~ ف....................~ ف7ن
ص..........ص..................ص................ ....خ...........................ص
ص...........خ....................خ............. ..........خ..........................خ
خ.............ص...................ص............ ........ص.......................ص
خ.............خ......................ص......... ...........ص...................... ص
وهذا الجدول للعبارتين : ف ـــــــــ> ن , ~ ف 7ن
نلاحظ ان العبارتين لهما نفس قيم الصواب المتناظرة للعبارتين ف,ن
وفي هذه الحالة نقول ان العبارتين متكافئتان . ويرمز لهما بالرمز :
ف ــــــ> ن ــ= ~ ف7ن
17-02-2007, 12:47 PM
ماذا تعرف عن الجبر
العرض العادي
