ليكن أي قطعين مكافئين متقاطعين بأربعة نقاط
أثبت أن هذه النقاط الأربعة تقع على دائرة واحدة أوجدها

 

 

عفوا
هل يمكنك أن تقول ما معنا بقطعين متكافئين؟
أذلك يعني قطعين من "مخروط" ؟

 

 

نعم أعني قطعين من مخروط
و المطلب إثبات أن نقاط التقاطع الأربعة تقع على دائرة واحدة
أي تقع في مستوي واحد و على دائرة واحدة

 

 

ياللأسف هذه من مسائل سورية و إلى الآن لم تحل
في منهج الثانوية
من مذكرات خارجية
أين السوريين
أين من يريد نفع المدرسين و الطلاب بأسلوب لحل هذه المسألة

 

 

مقدمة

إذا كان محوري القطعين المكافئين متوازيان فانهما يتقاطعان في نقطتين

(و لكن هذا غير صحيح دائما - انظر الرسم أدناه)

و لكن يمكننا وضع العبارة كما يلي :

إذا كان محوري القطعين المكافئين متوازيان فانهما يتقاطعان في نقطتين

على الأكثر

إذا كان محوري القطعين المكافئين متعامدان فانهما يتقاطعان في أربعة نقاط

(و لكن هذا غير صحيح دائما - انظر الرسم أدناه)





سنعتبر أن التقاطع هو أربعة نقاط حسب معطيات السؤال

الآن ، إذا أثبتنا ان تقاطع المكافئين يمثل معادلة دائرة ، هذا يعني ان نقاط

التقاطع التي تحقق هذه المعادلة تنتمي لنفس الدائرة.

لتكن معادلتي القطعين على الشكل الآتي :

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Ax² + Bxy +Cy² + Dx + Ey + F = 0

معلوم أن شرط كون هاتين المعادلتين قطوع مكافئة هو :

b² - 4ac = 0 و B² - 4AC = 0

بضرب الاولى في B و الثانية في b و من ثم طرحهما :


---------------------------(1)

و هي لا تحتوي على المعامل xy ، تمثل هذه الاخيرة معادلة دائرة

إذا كان معاملا x² و y² متساويان :

aB - Ab = cB - Cb


------------------(2)

لتكون دائرة ، نحتاج أيضا ان تكون معاملات x² و y² ، بالإضافة إلى كونهما متساويان ، أن لا يساويا الصفر

إذا كان كلاهما صفرا :



في تلك الحالة تكون معادلة الدائرة أعلاه :

إما خطا مستقيما مما يعطي أن التقاطع يكون على الأكثر نقطتين

أو مجموعة فارغة مما يعني أن التقاطع لا شيء

الآن ، إذا كانت زاويتا المحورين هما و

، كلاهما بين 0 و 2 باي :



بفرض أن المعادلة (1) تمثل دائرة ، أي أن العلاقة (2) متحققة :





و هذا يعني أن المحورين إما متعامدان ( k فردية ) و إما متوازيان ( k زوجية)

كما قلنا في المقدمة ، يكون التقاطع 4 نقاط عندما يكون محوري القطعين

المكافئين متعامدان - و لكن هذا غير صحيح دائما -

النتيجة :

في حال تقاطع قطعين متكافئين :

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Ax² + Bxy +Cy² + Dx + Ey + F = 0

في 4 نقاط ، تكون هذه النقاط على دائرة واحدة :



بشرط :

 

 

جزاك الله خيراً
إنني أحتاج إلى وقت حتى أستوعب الحل

 

 

يمكن أن يكون الحل كمايلي:

كما ذكر المشرف العام في المقدمة حتى يتقاطع القطعين المكافئين

بأربع نقاط يجب أن تكون معادلتاهما من الشكل:

(س-س₀)2=ب(ص-ص₀)
(ص-ص₀)2=بَ(س-س₀)
(أي إحداثيي كل من نقاط التقاطع الأربعة تحقق المعادلتين السابقتين)

بإجراء انسحاب للنقطة (س₀,ص₀) تصبح المعادلتين كمايلي:

س²=ب ص.........(1)

ص²=بَ س........(2)

(أي إحداثيي كل من نقاط التقاطع الأربعة بالنسبة للمحاور الجديدة تحقق المعادلتين السابقتين)

بجمع(1)مع(2)نجد:

س²+ص²=بَ ص+ب س

س²-ب س +ص²-بَ ص =0

(س-ب\2)²+(ص-بَ\2)²=ب²\4+بَ²\4

(أي إحداثيي كل من النقاط الأربعة تحقق هذه المعادلة)

وهذه المعادلة هي معادلة دائرة

إذاً النقاط الأربعة تقع على هذه الدائرة

 

 

أعتذر,,

حلي الأخير خاطئ أتراجع عنه