طلب : مجموع أطوال أضلاع مثلث = 1 أثبت أن :

16-04-2008, 07:39 PM

a و b وc اطوال اضلاع مثلث حيث
a+b+c=1
بين ان
a²+b²+c²+4abc≥1/2

16-04-2008, 10:48 PM

لقد وقع هنلك خطا في المعطيات يا اخواني

16-04-2008, 10:53 PM

a و b وc اطوال اضلاع مثلث بحيث
a+b+c=1
بين ان
a²+b²+c²+4abc≤1/2

17-04-2008, 02:14 AM

من موضوع الاخ امام
مثلث محيطه =1

17-04-2008, 03:22 PM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
حل آخر:
نحن نعلم أنه لكل مثلث أطوال أضلاعه $a,b,c$
فأنه يكون :
$a + b \succ c$

$b + c \succ a$

$a + c \succ b$

بما أن $a + b + c = 1$
فأنه $0 \prec a,b,c \prec 0.5$
وهذا حتى لا يتخالف مع ما ذكر للتو.
لنحسب مجال : $ab + bc + ac$

$ab + bc + ac = a(b + c) + bc$

ونحن نعلم أن : $b + c \succ a$

إذا : $a(b + c) \succ a^2$

ومنه : $a(b + c) + bc \succ a^2$

وبما أن : $0.25 \succ a^2$

إذا : $a(b + c) + bc \ge 0.25$
لماذا ؟ استنتج بنفسك .
أي أن : $ab + bc + ac \ge 0.25$

ومنه : $2(ab + bc + ac) \ge 0.5$

من المعطيات :
$a + b + c = 1 \Rightarrow (a + b + c)^2= 1 \Rightarrow a^2+ b^2+ c^2+ 2(ab + bc + ac) = 1$
ومنه :
$a^2+ b^2+ c^2= 1 - 2(ab + bc + ac)$

من البرهان السابق استنتاج : $1 - 2(ab + bc + ac) \le 0.5$

وبما أن : $a^2+ b^2+ c^2= 1 - 2(ab + bc + ac)$

إذا : $a^2+ b^2+ c^2\le 0.5$

17-04-2008, 11:18 PM

نسيت ان المطلوب هو $a^2+b^2+c^2+4abc \le \frac{1}{2}$

و ليس $\blue a^2+b^2+c^2 \le \frac{1}{2}$

18-04-2008, 09:53 AM

لم أنتبه
سامحني أستاذي

18-04-2008, 10:26 PM

شكرا يا ياسين على هدا الحل


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة