مسائل في نظرية العدد

06-02-2009, 05:38 PM

بسم الله الرحمن الرحيم .

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .

هنا سأضع مسائل في نظرية العدد بإذن الله.

ويكون كتنشيط حيث أن هذا النوع من المسائل.

قليل في المنتديات العربية.

وستستمر كل مسألة 3 أيام كحد أقصى.

وعلى من يجد الحل يرسله على الخاص.

وسأضع حل أول من يرسله.

ونستمر على هذا المنوال.

باسم الله نبدأ.

06-02-2009, 05:43 PM

سأحاول أن أضع المسائل متدرجة في الصعوبة.

المسألة رقم (1)

ليكن العدد $k$ عدد زوجيا موجبا. هل يمكن كتابة العدد $1$ على شكل مجموع مقلوب أعداد فردية عددها $k$ ، فسر بالبرهان.

07-02-2009, 10:20 AM

ما من متقدم حتى الآن؟؟!!

ننتظر المشاركات بفارغ الصبر.

08-02-2009, 03:00 PM

بما أنني لم أتلق أي محاولة. سأضع الحل:

الجواب: لا يمكن.

الحل:
لنفرض أن $n_i$ عدد فردي حيث $1\le i\le k$ .
الآن لدينا:

$1 = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \cdots + \frac{1}{n_k} = \frac{n_2n_3\cdots n_k+ n_3n_4\cdots n_1+ \cdots + n_1n_2\cdots n_{k-1}}{n_1n_2 \cdots n_k}$

وحيث أن المقام عدد فردي دائما و البسط عدد زوجي دائما... بالتالي لا يمكن أن يتساويا ... أو بكلام آخر لا يمكن أن يكون الكسر مساويا للواحد الصحيح.

والله أعلم

08-02-2009, 03:03 PM

المسألة (2):

ليكن $n$ عدد صحيحا موجبا. أثبت أن $3^{2^n} + 1$ عدد يقبل القسمة على 2 و لا يقبل القسمة على 4.

08-02-2009, 11:52 PM

09-02-2009, 02:12 PM

بارك الله فيك أستاذ مجدي.
ولدي حل آخر.
واضح أن العدد $3^{2^n} + 1$ عدد زوجي. بالتالي فهو يقبل القسمة على 2.

ولكن:

$3^{2^n} = \left(3^2\right)^{2^{n-1}} = 9^{2^{n-1}} = (8+1)^{2^{n-1}}$ .

باستخدام مفكوك ذات الحدين:

$(x+y)^{m} = \sum_{i=0}^{m}C_{m,i}x^{m-i}y^i$

بوضع $x=8$ ، $y=1$ ، $m=2^{n-1}$ ، نجد أن كل الحدود تقبل القسمة على 4 عدا الحد الأخير فهو 1. بالتالي فإنه لا يقبل القسمة على 4.

والله أعلم.

09-02-2009, 02:15 PM

المسألة (3):

أوجد كل الأعداد الوجبة n والتي تجعل المقادير 3n-4 ، 4n-5 , 5n-3 أعداد أولية.

10-02-2009, 01:15 AM

10-02-2009, 01:31 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مجدى الصفتى [ مشاهدة المشاركة ]

بارك الله فيك

حل صحيح و رائع.

وننتقل للمسألة التالية.

المسألة (4):

إذا كان $p,q$ أعداد أولية و كان $x^2 - px + q = 0$ لها حلين صحيحين موجبين مختلفين. فأوجد قيمة كل من $p,q$ .


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة