السلام عليكم
ساقدم حلا وعفوا علي طوله وما كان من توفيق فمن الله وما كان من سهو فمن نفسي

نفرض ان أ7س = أ+70 +100س ، أ7ص = أ +70 +100ص هما عددان مربعان
أ+70 +100س = (ل)^2 ، أ7ص = أ +70 +100ص = (م)^2 وبالطرح
100(س-ص) = (ل)^2 - (م)^2 = (ل+م) (ل-م)
(ص-س) = [(ل+م)(ل-م)]/100
ولكن ص-س عدد صحيح موجب
(ل+م) (ل-م) = 100ك حيث ك عدد طبيعي
مع ملاحظة ان كل من ل ،م هو عدد مكون من منزلتين علي الاكثر لان كلا منهم جذر لمربع من ثلاث منازل فيكون ل +م مكون من ثلاث منازل علي الاكثر ،ل-م من منزلة واحدة

كل ماسبق يجعل قيم ك =1 او 2 او 3 فقط
عند ك =1 نجد ان
(ل+م)(ل-م) = 100 وعوامل 100 هي (50ضرب2) (25ضرب4) (20ضرب5)
استبعدنا العوامل (100ضرب 1) لان ل لايساوي م
نجرب الحالات الثلاث نجد ان
ل+م =50 ول-م = 2 ومنها ل= 26 وم 24 تصلح
العددان هما 576 ، 676 فيكون رقم الاحاد 6

 

 

أحسنت أخي سيد

على الحل الرائع

 

 

العدد قبل التربيع :

لتكن خانة العشرات : أ

و خانة الآحاد : ب

عند التربيع : نضرب الآحاد بالآحاد : ب²

الحمل س من ب² يجب أن يكون فردي :

لأن 7 عدد فردي
س
ب أ .....
ب أ .....
_______
ينتج عن عملية الضرب

العشرات

ب أ + س
أ ب
_________
2 ب أ + س = 7

2أب زوجي ، إذا س فردي


حالات الحمل س (بالأحمر)

4 × 4 = 16

5 × 5 = 25

6 × 6 = 36

7 × 7 = 49

8 × 8 = 64

9 × 9 = 81

و عليه ب = 4 أو 6

و في كلتا الحالتين آحاد العدد المربع = 6

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

جميع الأعداد على الصورة (مع مراعاة فبمة الخانة العشرية للرمز)

أ ب جـ د هـ ..... حيث أب = 24 أو 26 أو 74 أو 76

يكون مربعها على الصورة

76 س ص ع ....

أو بعبارة أخرى جميع الأعداد التى على الصورة

24 جـ د هـ ...........

26 جـ د هـ ...........

74 جـ د هـ ...........

76 جـ د هـ ...........

مربعاتها تكون على الصورة

76 س ص ع .....

أى يكون رقم آحاد مربعها = 6 بشرط كون رقم عشرات مربعها = 7

البرهان

( أ +10ب+100 جــ ... ) ^2 = أ2 + 20 أ ب +100( 2 أ ب + ب2 ) + .....

ولتحديد الناتج بحيث يكون رقم العشرات = 7

هو مجموعة حل المتباينة الأتية

80 + 100ع > أ2+ 20 أب > 70 + 100 ع & ع = 0 ,1, 2 ...., 16

وبإتباع الفكرة التى أوردها مشرفنا القدير الأستاذ uaemath

وجوب أن يكون عشرات مربع العدد أ هو عدد فردى

وهذا لا يتحقق إلا فى حالة أ = 4 & أ = 6

وعندما أ = 4 ----> أ2+20 أ ب = 6 + 10 ( 8 ب + 1 )

وحيث أن آحاد العدد ( 8 ب +1) = 7 فإن ب = 2 أو ب = 7

وعندما أ = 6 ----> أ2+20 أ ب = 6 + 10 ( 12 ب + 3 )

وحيث أن آحاد العدد ( 12 ب +3) = 7 فإن ب = 2 أو ب = 7

أى أن

( أ , ب) ينتمى { ( 4, 2) , ( 6 , 2 ) , ( 4 , 7 ) , ( 6 , 7 ) }

 

 

س ، ص ، ع أضلاع في مثلث بحيث س² ، ص² ، ع² في متتالية حسابية

أثبت ان ظتا أ ، ظتا ب ، ظتا جـ في متتالية حسابية أيضا

أ : الزاوية المفابلة للضلع س

ب : الزاوية المفابلة للضلع ص

جـ: الزاوية المفابلة للضلع ع

 

 

جميل وغريب

 

 

استاذي تحياتي لك علي هذه السلسلة التي تبعث في النفس التحدي
اليك الحل الذي توصلت له
لدينا س^2+ع^2= 2ص^2



ومن قاعدة جيب التمام

جتا ب = (س^2+ع^2 -ص^2)/ 2س ع

جتا ب = ص^2/2س ع ------------------------------(1)
ومن قاعدة الجيب جاب= ص جاجـ/ع ---------------(2)
بقسمة 1علي 2
ظتا ب = ص/2س جاجـ --------------------------------(3)
الان اذهب الي المثلث واسقط عمود من الزاويه ب علي القاعدة أ جـ طوله ل
يقسم القاعدة هذة الي جزئين مثلا م ، ص - م
ومن الرسم
طتاأ + ظتا جـ = ص/ل ---------------------------------(4)
ومن نفس الرسم نجد ان جا جـ= ل/س --------------------(5)
من (5) ،(4)

طتاأ + ظتا جـ = ص/س جاجـ -------------------------(6)
من (3) ، (6)
2طتا ب = طتا أ +طتا جـ
اي ان ظتا أ ، ظتا ب ، ظتا جـ في تتابع حسابي
وما كان من توفيق فمن الله وما كان من خطا فمن نفسي
من

 

 

د(س) كثيرة حدود من الدرجة الثانية في متغير واحد (معادلة تربيعية)

بحيث د(1) = د(-1) و المعاملات في متتالية حسابية

أثبت أن دَ (1) ، دَ (2) ، دَ (3) في متتالية حسابية أيضا

دَ : المشتقة الاولى

 

 

نفرض : د(س) = (ا - و)س^2 + أس + أ + و
لاحظ : أ - و ، أ ، أ + و فى تتابع حسابى
د(1) = د(-1) أذن بالتعويض : 3أ = أ ومنها أ = 0
د(س) = - وس^2 + و
دَ (س) = - 2وس
دَ(1) = -2و ،، دَ(2) = -4و ،، دَ(3) = - 6و
وهى فى تتابع حسابى وأساس هذا التتابع هو -2و

 

 

بسم الله الرحمن الرحيم
أشكرك استاذي على هذه المسائل المفيدة
الحل
نفرض ان :
د(س)=أس^2 +ب س +ج
المعاملات في تتابع حسابي

د(س)=أس^2 +(أ+د)س +(أ+2د)

د(1)=د(-1)

أ(1)^2+(أ+د)×1+(أ+2د)=أ(-1)^2+(أ+د)(-1)+(أ+2د)،بالاختصار

2أ+2د=0ومنهأ=-د،نعوض في الدالة الأصلية
د(س)=أس^2-أ

دَ(س)=2أس

دَ(1)=2أ

دَ(2)=4أ

دَ(3)=6أ

6أ-4أ=4أ-2أ=2أ--اذا دَ(1)ودَ(2)ودَ(3) في تتابع حسابي

تحياتي للجميع