السؤال :

ماهو أصغر عدد طبيعي س إذا قسمته على كل من الأعداد 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 يكون الباقي هو 1 و إذا قسمته على 7 يكون الباقي هو 0.

==========================

الحل :

حسان

في منتديات الرياضيات العربية

في البداية سنوجد العدد الذي يقسم على 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 (بدون باقي )

ثم نضيف إليه 1 ، ليصبح باقي القسمة : 1

ثم نحاول إيجاد القيمة التي تجعل منه يقسم على 7 بدون باقي


العدد الذي يقسم على 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 (بدون باقي ) هو المضاعف المشترك

الأصغر : 60

60 + 1 = 61 تترك باقي = 1 عند قسمتها على 2، 3 ، 4 ، 5 ، 6

و لكنها لا تحقق القسمة على 7

الشكل العام للعدد الذي نبحث عنه : 60 س + 1

نضع : 60س + 1 = 0 (mod 7 )

4س + 1 = 0 (mod 7 )

4س = -1 (mod 7 )

4س = 6 (mod 7 )

الحل الأول الذي يحقق المعادلة : س = 5 و تتكرر القيمة كلما أضفنا 7

إذن لتقسم 60س + 1 على 7 ، س = 5 + 7 ن ( ن عدد طبيعي)

60س + 1 = 60 ( 5 + 7ن ) + 1 = 301 + 420 ن

أصغر عدد عند ن = صفر

العدد المطلوب = 301

 

 

التمرين:

أوجد باقي قسمة على

الحل :

 

 

التمرين :

أوجد أصغر عدد صحيح k بحيث يكون :


قاسماً لـ

الحل :

يمكن الاستفادة من خواص المود كمايلي:

 

 

ماهو أصغر عدد طبيعي n الذي اذا كان p اصغر من n وايضا 1=(GCD(n,p
اذا p هو عدد اولي
برهن انه اصغر عدد

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة hussam [ مشاهدة المشاركة ]

ماهو أصغر عدد طبيعي n الذي اذا كان p اصغر من n وايضا 1=(gcd(n,p اذا p هو عدد اولي برهن انه اصغر عدد

السؤال غير مفهوم... الرجاء إعادة صياغته.

 

 

اسف ساعيد صياغة السؤال
ا)ماهو أكبر عدد طبيعي n الذي يحقق ان كل p اصغر من n وايضا 1=(GCD(n,p
فان p هو عدد اولي (مثال الرقم 6 يحقق الشرط لكنه ليس اكبر عدد)
ب)برهن انه اكبر عدد

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة hussam [ مشاهدة المشاركة ]

اسف ساعيد صياغة السؤال ا)ماهو أكبر عدد طبيعي n الذي يحقق ان كل p اصغر من n وايضا 1=(GCD(n,p فان p هو عدد اولي (مثال الرقم 6 يحقق الشرط لكنه ليس اكبر عدد) ب)برهن انه اكبر عدد

المسألة بها قليل من المشاكل.

1) لاحظ أن و لكن 1 عدد غير أولي.
2) لاحظ كذلك تحقق الشرط بالتالي فإن أكبر عدد غير معرف. (بإهمال الملاحظة 1)

والله أعلم.

 

 

لا انا قصدت ب 1=(GCD(n,p
هو ان لا يوجد عامل مشترك بين العددين(coprime) بالطبع نقصد عامل غير1
تلميح:فكر لماذا 15 لا يحقق الشرط(GCD(15,4)=1)
اعتقد ان ايجاد العدد ليس صعبا بقدر برهنة انه اكبر عدد(سوف اكتب البرهان لاحقا)

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة hussam [ مشاهدة المشاركة ]

لا انا قصدت ب 1=(gcd(n,p هو ان لا يوجد عامل مشترك بين العددين(coprime) بالطبع نقصد عامل غير1 تلميح:فكر لماذا 15 لا يحقق الشرط(gcd(15,4)=1) اعتقد ان ايجاد العدد ليس صعبا بقدر برهنة انه اكبر عدد(سوف اكتب البرهان لاحقا)

سأفكر فيها.

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة hussam [ مشاهدة المشاركة ]

اسف ساعيد صياغة السؤال ا)ماهو أكبر عدد طبيعي n الذي يحقق ان كل p اصغر من n وايضا 1=(GCD(n,p فان p هو عدد اولي (مثال الرقم 6 يحقق الشرط لكنه ليس اكبر عدد) ب)برهن انه اكبر عدد

الحل:

العدد هو 30.
لأنه يجب أن يكون .
وبفرض وجود عدد أكبر من 30 يحقق المطلوب. يجب أن يكون ، بضرب 30 في 7 نجد أنه 210. ولكن وهكذا...

ومن ثم نجد أن وهي قيمة غير معرفة. بالتالي فإن أكبر قيمة للعدد n هي 30.

والله أعلم