السؤال الخامس من الاستاذ محمد علي القاضي:




Solve the equation






بالتوفيق للجميع

رجاء من الإخوة و الأخوات قراءة جميع الحلول حتى لا يكرروا الحل - الحلول المكررة سيتم حذفها

===================

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3706

 

 

سلام عليكم

 

 

حل جميل ولكن :

هل شرط جمع المتتابعه الهندسيه الى مالانهايه متحقق ؟

هل مقياس الاساس اقل من ال 1

مجرد توضيح فقط ويجب اثباته ::::::::::

 

 

اعجبتني طريقة الحل ولكن( ينقصه شئ صغير نوهت عنه في نهاية الحل ) اسال متي ينزل السؤال بالضبط فانا اجري في الطريق كي الحق بالسؤال ودخلت قبل السادسة بتوقيت جرينتش فوجدت السؤال موجودا

د(س) = مجموع متتالية هندسية لانهائية حدها الاول ظاس اساسها = -طا^3/ظاس= -ظا^2س
ولكي تكون قابلة للجمع لابد ان تكون مقياس - (ظا^2س) اقل من الواحد الصحيح
المجموع = أ / 1-ر = طاس/1+ظا^2س
= ظاس/ قا^2س
= جاس جتاس
المعادلة جاس جتاس = جذر 3 /4
حا2س = جذر 3 /2
الجيب موجب في الربع الاول او الثاني
قياس زاوية الاسناد = 60 = ط/3
0<س<360
دورة الدالة جا2س = ط
ومنها الحل الخاص هو
في الربع الاول 2س = ط /3 ومنها س = ط/6 =30
في الربع الثاني 2س= 2ط/3 ومنها س = ط/3 =60
ولكن س = ط/3 مرفوضة لانها سوف يستحيل معها جمع المتتالية الي مالانهاية
الحل العام للمعادلة هو
2س = ط/6 + ن ط
2س= ط/3 + ن ط
حيث ن عدد صحيح
ومنها سوف نجد ان س = ط/3 ، ط/6 ، 7ط/6 ،
ولكن في النهاية سوف نختار الزوايا التي تجعل المتتالية قابلة للجمع الي مالانهاية وهي ط/6 ، والزوايا الاخري مرفوضة
لاحظ ان -ظا^2(ط/3) = - 3 ولذلك س = ط/3 لاتصلح

 

 

سلام عليكم
كذلك الزاويتان 210 ،240 تحققان الحل لأن:
س بين صفر و360
لذلك 2س بين صفر و 270
لذلك 2س = 360 + 60= 420 ومنها س = 210
او 2س = 360 + 120 = 480 ومنها س = 240
لذلك مجموعة الحل = { 30 ، 60 ، 210 ، 240 }

 

 

توصلت الي ان الحل الخاص هو
س= ط/3 ، س = ط/6
الحل العام خلال مجال س
س=ط/3 + ن ط حيث ن =0 ، 1 ومنها س= 60 ، 240
س = ط/6 + ن ط حيث ن =0 ، 1 ومنها س = 30 ، 210
ومجموعة الحلول هذة سوف نستبعد منها 240 ، 60 لانها لايمكن جمع المتتالية عندها الي مالانهاية
مجموعة الحل فقط = { 30 ، 210}
والسبب ان -ظا^2 (60) = - ظا^(240) = -3
وشرط جمع متتالية هندسية الي مالانهاية ان يكون مقياس الاساس اقل من الواحد

 

 

سلام عليكم
الأستاذ السيد كامل :السؤال يوضع اسبوعيا يوم الجمعة في الساعة الخامسة بتوقيت جرينتش
وفعلا الزاويتين 60 و 240 تستبعد لأن مقياس أساس المتتابعة يصبح أكبر من الواحد

 

 

استاذى /سيد كامل حل جميل وملاحظطه رائعه (ط/3) تجعل المتتابعه غيرنهائيه
سبقتنا للحل فأنت دائماً سباق ذادكم الله علماً
أخيك سعيد الصباغ

 

 

اخوانى الاعزاء شكرا لكم جميعا على المعلومات الشيقه النى نتلقاها من المسابقه وحلولها: اليكم فكره حل بطريقه اخرى ولكن تعتمد ايضا على فكره المتتابعه .
ظاس -ظا^3س+ظا^5س-ظا^7س+ظا^9س00000000000
= ظاس[1-ظا^2س] +ظا^5س[ 1-ظا^2س] +ظا^9س[1-ظا^2س]+00000
=[1-ظا^2س] [ ظاس+ظا^5س+ظا^9س+00000000]
= [1-ظا^2س] × مجموع متتابعه هندسيه الى مالانهايه اساسها ظا^4س بشرط مقياس الاساس < 1
= [1-ظا^2س] ×[ ظاس/ (1-ظا^4س)] =
[1-ظا^2س] × [ظاس /(1-ظا^2س)(1+ظا^2س)] =ظاس / قا^2س
= (جاس/جتاس)× جتا^2س = جاس جتاس
اذا جاس جتاس= ج3/4 ومنها 2جاس جتاس = ج3/2 اى جا2س = ج3/2
اذا: اما 2س تنتمى للربع الاول ومنها 2س= 60 اى س= 30 وهى تحقق شرط الجمع الى مالا نهايه للمتتابعه
او : 2س تنتمى للربع الثانى ومنها 2س=120 اى س=60 وهى لا تحقق شرط الجمع الى مالانهايه للمتتابعه(لان ظا 60=ج3 > 1)
ومنها مجموعه الحل هى 30 ، 30+1× 180 = 210
(حيث الزاويه 2س دورتها 360 ومنها الدوره الخاصه بالزاويه س= 180)

 

 

أخواني..
أعتقد أن مجموعة الحل = {30ْْْْْ ْ ،150 ْ ،210 ،330ْ ْ}
ما رأيكم..؟
مع تحياتي،،